A B. 4271. feladat (2010. április)

B. 4271. Van-e olyan legalább másodfokú polinom, amely a racionális számok halmazát kölcsönösen egyértelműen képezi le önmagára?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy van ilyen \(\displaystyle f\) polinom. Az októberi szám B. 4211. feladatának megoldása során beláttuk, hogy egy \(\displaystyle n\)-edfokú polinom csak akkor vehet fel \(\displaystyle n+1\) különböző racionális helyen is racionális értéket, ha minden együtthatója racionális. Mivel \(\displaystyle f\) minden racionális helyen racionális értéket vesz fel, racionális együtthatós kell legyen. Az \(\displaystyle f\) polinomot tetszőleges nemnulla egész számmal megszorozva megmarad az a tulajdonsága, hogy a racionális számok halmazát kölcsönösen egyértelműen képezi le önmagára, és fokszáma sem változik. Feltehetjük tehát, hogy \(\displaystyle f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0\), ahol \(\displaystyle n\ge 2\), minden \(\displaystyle a_i\) együttható egész szám, és \(\displaystyle a_n=2b\) pozitív páros szám.

Legyen \(\displaystyle M\) olyan pozitív egész szám, amelyre \(\displaystyle bM\ge |a_0|+|a_1|+\ldots +|a_{n-1}|\). Ekkor az \(\displaystyle |x|>1\) feltételt is maga után vonó \(\displaystyle |x|>M\) feltétel teljesülése esetén

\(\displaystyle \left|\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\right|\le \sum_{i=0}^{n-1}|a_i|\cdot|x^i|\le \sum_{i=0}^{n-1}|a_i|\cdot|x^{n-1}|\le bM\cdot|x^{n-1}|<|bx^n|.\)

Ilyen esetekben tehát

\(\displaystyle |f(x)|\ge |a_nx^n|-\left|\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\right|>|2bx^n|-|bx^n|>bM^n.\)

Tekintsük azt a \(\displaystyle 2bM^n+1\) darab egész számot, melyre \(\displaystyle -bM^n\le k\le bM^n\). Minden ilyen \(\displaystyle k\) egész számhoz léteznie kell olyan \(\displaystyle r\) racionális számnak, melyre \(\displaystyle f(r)=k\) és \(\displaystyle -M\le r\le M\). Kell tehát léteznie legalább \(\displaystyle 2bM^n+1\) darab különböző \(\displaystyle r\) racionális számnak, melyre \(\displaystyle -M\le r\le M\), és \(\displaystyle f(r)\) értéke egész szám.

Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle r\) racionális szám ilyen, és írjuk fel \(\displaystyle r=p/q\) alakban, ahol a \(\displaystyle p,q\) egész számok relatív prímek, és \(\displaystyle q>0\). Feltételünk szerint

\(\displaystyle q^{n-1}f(r)=q^{n-1}f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac {a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\ldots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n}{q}\)

egész szám, vagyis \(\displaystyle q\) osztója kell legyen az \(\displaystyle a_n\) együtthatónak. Ezért \(\displaystyle q\le a_n\) és \(\displaystyle |p|\le a_nM\). A feltételnek megfelelő racionális számok száma tehát \(\displaystyle M\ge 5b\) esetén legfeljebb

\(\displaystyle a_n(2a_nM+1)=8b^2M+2b\le 10b^2M\le 2bM^2<2bM^n+1.\)

Ellentmondásra jutottunk, ami azt jelenti, hogy nem létezhet a feladat feltételeinek eleget tevő polinom.

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Cséke Balázs, Éles András, Janzer Olivér, Mester Márton, Mészáros András, Somogyi Ákos, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
4 pontot kapott:	Dudás 002 Zsolt, Perjési Gábor, Szabó 928 Attila.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2010. áprilisi matematika feladatai