KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4273. Given six circles in the plane that have an interior point in common. Prove that there is a circle among them that contains the centre of another in its interior.

(4 points)

Deadline expired on 10 June 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen \(\displaystyle P\) a hat kör egy közös belső pontja. Ha ez egybeesik valamelyik kör középpontjával, akkor készen is vagyunk. Ellenkező esetben az adott körök között van kettő, \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\), melyek \(\displaystyle O_1\), illetve \(\displaystyle O_2\) középpontjára az \(\displaystyle O_1PO_2\) szög nagysága legfeljebb \(\displaystyle 60^\circ\). Ha ez a szög nulla, akkor feltehetjük, hogy az \(\displaystyle O_1\) pont a \(\displaystyle PO_2\) szakaszra esik, ekkor a \(\displaystyle k_2\) kör belsejében tartalmazza a \(\displaystyle k_1\) középpontját. Ellenkező esetben tekintsük a \(\displaystyle PO_1O_2\) háromszöget. A \(\displaystyle PO_1O_2\) és \(\displaystyle PO_2O_1\) szögek közül valamelyik legalább \(\displaystyle 60^\circ\)-os. Feltehetjük, hogy a \(\displaystyle PO_1O_2\) szög ilyen, ekkor az ezzel szemben fekvő \(\displaystyle PO_2\) oldal legalább olyan hosszú, mint az \(\displaystyle O_1PO_2\) szöggel szemben fekvő \(\displaystyle O_1O_2\) oldal. Ezért a \(\displaystyle PO_2\) szakasz hossza, és ennélfogva az \(\displaystyle O_1O_2\) szakasz hossza is kisebb a \(\displaystyle k_2\) kör sugaránál, vagyis ebben az esetben is a \(\displaystyle k_2\) kör belsejében tartalmazza a \(\displaystyle k_1\) középpontját.


Statistics on problem B. 4273.
47 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Bunth Gergely, Csere Kálmán, Damásdi Gábor, Éles András, Gyarmati Máté, Hosszejni Darjus, Jernei Tamás, Keresztfalvi Tibor, Köpenczei Gergő, Lajos Mátyás, Medek Ákos, Mészáros András, Nagy Róbert, Ódor Gergely, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Zelena Réka.
3 points:Árvay Balázs, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Csuka Róbert, Dudás 002 Zsolt, Énekes Péter, Janzer Olivér, Karkus Zsuzsa, Máthé László, Sándor Áron Endre, Sieben Bertilla, Strenner Péter, Szenczi Zoltán, Tekeli Tamás, Vuchetich Bálint, Weimann Richárd, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
2 points:3 students.
1 point:2 students.
0 point:5 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley