Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4273. (May 2010)

B. 4273. Given six circles in the plane that have an interior point in common. Prove that there is a circle among them that contains the centre of another in its interior.

(4 pont)

Deadline expired on June 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle P\) a hat kör egy közös belső pontja. Ha ez egybeesik valamelyik kör középpontjával, akkor készen is vagyunk. Ellenkező esetben az adott körök között van kettő, \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\), melyek \(\displaystyle O_1\), illetve \(\displaystyle O_2\) középpontjára az \(\displaystyle O_1PO_2\) szög nagysága legfeljebb \(\displaystyle 60^\circ\). Ha ez a szög nulla, akkor feltehetjük, hogy az \(\displaystyle O_1\) pont a \(\displaystyle PO_2\) szakaszra esik, ekkor a \(\displaystyle k_2\) kör belsejében tartalmazza a \(\displaystyle k_1\) középpontját. Ellenkező esetben tekintsük a \(\displaystyle PO_1O_2\) háromszöget. A \(\displaystyle PO_1O_2\) és \(\displaystyle PO_2O_1\) szögek közül valamelyik legalább \(\displaystyle 60^\circ\)-os. Feltehetjük, hogy a \(\displaystyle PO_1O_2\) szög ilyen, ekkor az ezzel szemben fekvő \(\displaystyle PO_2\) oldal legalább olyan hosszú, mint az \(\displaystyle O_1PO_2\) szöggel szemben fekvő \(\displaystyle O_1O_2\) oldal. Ezért a \(\displaystyle PO_2\) szakasz hossza, és ennélfogva az \(\displaystyle O_1O_2\) szakasz hossza is kisebb a \(\displaystyle k_2\) kör sugaránál, vagyis ebben az esetben is a \(\displaystyle k_2\) kör belsejében tartalmazza a \(\displaystyle k_1\) középpontját.


Statistics:

47 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Bunth Gergely, Csere Kálmán, Damásdi Gábor, Éles András, Gyarmati Máté, Hosszejni Darjus, Jernei Tamás, Keresztfalvi Tibor, Köpenczei Gergő, Lajos Mátyás, Medek Ákos, Mészáros András, Nagy Róbert, Ódor Gergely, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Zelena Réka.
3 points:Árvay Balázs, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Csuka Róbert, Dudás 002 Zsolt, Énekes Péter, Janzer Olivér, Karkus Zsuzsa, Máthé László, Sándor Áron Endre, Sieben Bertilla, Strenner Péter, Szenczi Zoltán, Tekeli Tamás, Vuchetich Bálint, Weimann Richárd, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
2 points:3 students.
1 point:2 students.
0 point:5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2010