KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4274. The lengths of the sides of a parallelogram of unit area are a and b, where a<b<2a. What is the area of the quadrilateral bounded by the interior angle bisectors of the parallelogram?

(3 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Mivel a paralelogramma szomszédos szögeinek összege 180o, szomszédos csúcsokból induló szögfelezők merőlegesek egymásra. A feltételek alapján az alábbi ábrát készíthetjük, ahol a paralelogramma oldalai AD=BC=a, AB=DC=b.

Az AFX, ADX, CBW és CHW háromszögek egybevágó derékszögű háromszögek, ezért AF=BE=CH=DG=a, AE=FB=CG=HD=b-a. Az AXF és EYF háromszögek hasonlóságából

\frac{XY}{XF}=\frac{AE}{AF}=\frac{b-a}{a},\qquad \frac{XY}{DF}=\frac{b-a}{2a}.

Ezek alapján az XYWZ téglalap területe

t_{XYWZ}=\frac{t_{XYWZ}}{t_{DFBH}}\cdot\frac{t_{DFBH}}{t_{ABCD}}=
\frac{XY}{DF}\cdot\frac{FB}{AB}=\frac{b-a}{2a}\cdot\frac{b-a}{b}=\frac{(b-a)^2}{2ab}.


Statistics on problem B. 4274.
52 students sent a solution.
3 points:Árvay Balázs, Boér Lehel, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Böőr Katalin, Csere Kálmán, Csizmadia Luca, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Győrfi 946 Mónika, Hegedűs Csaba, Hosszejni Darjus, Janzer Olivér, Jernei Tamás, Karkus Zsuzsa, Kiss 902 Melinda Flóra, Köpenczei Gergő, Lajos Mátyás, Máthé László, Medek Ákos, Nagy 111 Miklós, Repka 666 Dániel, Sagmeister Ádám, Sándor Áron Endre, Sieben Bertilla, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Szórádi Márk, Vajk Dóra, Varga Vajk, Varju 105 Tamás, Vuchetich Bálint, Weimann Richárd, Zahemszky Péter, Zelena Réka.
2 points:Balog Dóra, Csuka Róbert, Csörgő András, Frittmann Júlia, Nguyen Noémi, Ódor Gergely, Rábai Domonkos, Somogyi Ákos.
1 point:6 students.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program