KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4274. (May 2010)

B. 4274. The lengths of the sides of a parallelogram of unit area are a and b, where a<b<2a. What is the area of the quadrilateral bounded by the interior angle bisectors of the parallelogram?

(3 pont)

Deadline expired on 10 June 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel a paralelogramma szomszédos szögeinek összege \(\displaystyle 180^\circ\), szomszédos csúcsokból induló szögfelezők merőlegesek egymásra. A feltételek alapján az alábbi ábrát készíthetjük, ahol a paralelogramma oldalai \(\displaystyle AD=BC=a\), \(\displaystyle AB=DC=b\).

Az \(\displaystyle AFX\), \(\displaystyle ADX\), \(\displaystyle CBW\) és \(\displaystyle CHW\) háromszögek egybevágó derékszögű háromszögek, ezért \(\displaystyle AF=BE=CH=DG=a\), \(\displaystyle AE=FB=CG=HD=b-a\). Az \(\displaystyle AXF\) és \(\displaystyle EYF\) háromszögek hasonlóságából

\(\displaystyle \frac{XY}{XF}=\frac{AE}{AF}=\frac{b-a}{a},\qquad \frac{XY}{DF}=\frac{b-a}{2a}.\)

Ezek alapján az \(\displaystyle XYWZ\) téglalap területe

\(\displaystyle t_{XYWZ}=\frac{t_{XYWZ}}{t_{DFBH}}\cdot\frac{t_{DFBH}}{t_{ABCD}}= \frac{XY}{DF}\cdot\frac{FB}{AB}=\frac{b-a}{2a}\cdot\frac{b-a}{b}=\frac{(b-a)^2}{2ab}.\)


Statistics:

52 students sent a solution.
3 points:Árvay Balázs, Boér Lehel, Bogár Blanka, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Csere Kálmán, Csizmadia Luca, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Győrfi 946 Mónika, Hegedűs Csaba, Hosszejni Darjus, Janzer Olivér, Jernei Tamás, Karkus Zsuzsa, Kiss 902 Melinda Flóra, Köpenczei Gergő, Lajos Mátyás, Máthé László, Medek Ákos, Nagy 111 Miklós, Repka 666 Dániel, Sagmeister Ádám, Sándor Áron Endre, Sieben Bertilla, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Szórádi Márk, Vajk Dóra, Varga Vajk, Varju 105 Tamás, Vuchetich Bálint, Weimann Richárd, Zahemszky Péter, Zelena Réka.
2 points:Balog Dóra, Csörgő András, Csuka Róbert, Frittmann Júlia, Nguyen Noémi, Ódor Gergely, Rábai Domonkos, Somogyi Ákos.
1 point:6 students.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley