KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4275. (May 2010)

B. 4275. Solve the equation \(\displaystyle x^{6}-x^{3}-2x^{2}-1=2(x-x^{3}+1)\sqrt{x}\).

Suggested by F. Pintér, Nagykanizsa, J. Szoldatics, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on 10 June 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle a=\sqrt{x}\ge 0\) helyettesítéssel az egyenletet

\(\displaystyle a^{12}+2a^7-a^6-2a^4-2a^3-2a-1=0\)

alakra hozhatjuk. A bal oldali kifejezést könnyen szorzattá alakíthatjuk, ha különválasztjuk azokat a tagokat, amelyek foka nem osztható 3-mal: \(\displaystyle 2a^7-2a^4-2a=2a(a^6-a^3-1)\), míg az \(\displaystyle y^4-y^2-2y-1=(y^2-y-1)(y^2+y+1)\) azonosság alapján \(\displaystyle a^{12}-a^6-2a^3-1=(a^6-a^3-1)(a^6+a^3+1)\). így a nemnegatív \(\displaystyle a\) számra az

\(\displaystyle (a^6-a^3-1)(a^6+a^3+2a+1)=0\)

egyenletet kapjuk. Itt a második tényező mindenképpen pozitív, vagyis a nemnegatív \(\displaystyle b=a^3\) számra \(\displaystyle b^2-b-1=0\). A másodfokú egyenlet egyetlen nemnegatív gyökéből

\(\displaystyle b=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\quad a=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{\frac{1}{3}},\quad x=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{\frac{2}{3}}.\)


Statistics:

28 students sent a solution.
4 points:Bősze Zsuzsanna, Csere Kálmán, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Jernei Tamás, Korondi Zénó, Mester Márton, Mészáros András, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Perjési Gábor, Repka 666 Dániel, Sieben Bertilla, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zahemszky Péter, Zsakó András.
3 points:Boér Lehel, Tekeli Tamás.
2 points:1 student.
0 point:3 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley