KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4276. Show that an altitude of a triangle cannot be longer than the geometric mean of the radii of the excircles touching the two adjacent sides of the triangle.

(4 points)

Deadline expired on 10 June 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Szimmetria okok miatt elegendő az \(\displaystyle m_c^2\le R_aR_b\) egyenlőtlenséget igazolni, ahol \(\displaystyle m_c\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB=c\) oldalához tartozó magasságát, \(\displaystyle R_a\) és \(\displaystyle R_b\) pedig a \(\displaystyle BC=a\), illetve \(\displaystyle AC=b\) oldalakhoz hozzáírt körök sugarát jelöli. Szokás szerint a háromszög területét jelölje \(\displaystyle t\), beírt körének sugarát \(\displaystyle r\), kerületének felét pedig \(\displaystyle s\). Mivel az \(\displaystyle A\) csúcs, a beírt kör középpontja és az \(\displaystyle a\) oldalhoz hozzáírt kör középpontja egyaránt az \(\displaystyle A\)-ból induló szögfelezőn helyezkedik el, továbbá e két kör az \(\displaystyle AB\) félegyenest az \(\displaystyle A\) csúcstól \(\displaystyle s-a\), illetve \(\displaystyle s\) távolságban érinti, \(\displaystyle R_a:r=s:(s-a)\), és hasonlóképpen \(\displaystyle R_b:r=s:(s-b)\). Ezért \(\displaystyle rs=t=cm_c/2\) miatt

\(\displaystyle \frac{R_aR_b}{m_c^2}=\frac{r^2s^2}{(s-a)(s-b)m_c^2}=\frac{c^2}{4(s-a)(s-b)}=\frac{c^2}{c^2-(a-b)^2}\ge 1.\)

Tehát valóban \(\displaystyle R_aR_b\ge m_c^2\), egyenlőség pedig pontosan akkor áll fenn, ha \(\displaystyle a=b\).


Statistics on problem B. 4276.
57 students sent a solution.
4 points:55 students.
3 points:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley