Problem B. 4277. (May 2010)
B. 4277. Solve the equation \(\displaystyle x^{3}+y^{3}+1=x^{2}y^{2}\) on the set of integers.
Suggested by L. Surányi Budapest
(5 pont)
Deadline expired on June 10, 2010.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle x,y\) egész számok kielégítik az egyenletet. A két szám bármely közös osztója osztja az \(\displaystyle x^2y^2-x^3-y^3=1\) számot, vagyis \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) relatív prímek. Szimmetria okok miatt elegendő az \(\displaystyle x\ge y\) esettel foglalkozni. Ha \(\displaystyle x<0\) lenne, akkor az egyenlet bal oldalán negatív, a jobb oldalán pozitív szám állna. Ha \(\displaystyle x=0\), akkor \(\displaystyle y^3+1=0\), \(\displaystyle y=-1\). Tegyük fel tehát, hogy \(\displaystyle x>0\), és hozzuk az egyenletet
\(\displaystyle y^2(x^2-y)=x^2y^2-y^3=x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\)
alakra.
Vizsgáljuk meg először az \(\displaystyle y\ge 0\) esetet. Ekkor \(\displaystyle x-1\ge y\ge 0\), ugyanis lévén \(\displaystyle x,y\) relatív prímek, \(\displaystyle x=y\) esetén \(\displaystyle x=y=1\) következne, ami nem ad megoldást. Tehát \(\displaystyle x^2-y\ge x^2-x+1>0\), vagyis szükégképpen \(\displaystyle y^2\le x+1\). Ha \(\displaystyle y^2\le x\) lenne, abból
\(\displaystyle y^2(x^2-y)\le x^3<x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\)
következne, vagyis \(\displaystyle y^2=x+1\), és ennek megfelelően \(\displaystyle x^2-y= x^2-x+1\), tehát \(\displaystyle y=x-1\). Innen \(\displaystyle (x-1)^2=x+1\), vagyis \(\displaystyle x=3\) következik, \(\displaystyle y\) értékére pedig 2 adódik.
Térjünk át az \(\displaystyle y<0\) eset vizsgálatára, ekkor \(\displaystyle -y>-x+1\), vagyis \(\displaystyle x^2-y> x^2-x+1>0\). Ezért most \(\displaystyle y^2< x+1\), vagyis \(\displaystyle y^2\le x\). Ha \(\displaystyle y^2\le x-1\) lenne, akkor \(\displaystyle -y\le y^2\) figyelembevételével
\(\displaystyle y^2(x^2-y)\le (x-1)(x^2+x-1)=x^3-2x+1<x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\)
lenne, ami nem lehetséges. Tehát \(\displaystyle y^2=x\) kell legyen. Minthogy \(\displaystyle x,y\) relatív prímek, ez csak \(\displaystyle x=1\), \(\displaystyle y=-1\) esetén lehetséges.
Az \(\displaystyle x\le y\) feltételt kielégítő megoldásokat \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) szerepének felcserélésével kaphatjuk meg. Ennek alapján a lehetséges \(\displaystyle (x;y)\) megoldáspárok: \(\displaystyle (0;-1)\), \(\displaystyle (3;2)\), \(\displaystyle (1;-1)\), \(\displaystyle (-1;0)\), \(\displaystyle (2;3)\) és \(\displaystyle (-1;1)\). Ezek mindegyike valóban megoldása az egyenletnek.
Statistics:
20 students sent a solution. 5 points: Éles András, Janzer Olivér, Karkus Zsuzsa, Máthé László, Mester Márton, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Weisz Ágoston, Weisz Gellért. 3 points: 4 students. 2 points: 4 students. 1 point: 3 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2010