KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4277. Solve the equation \(\displaystyle x^{3}+y^{3}+1=x^{2}y^{2}\) on the set of integers.

Suggested by L. Surányi Budapest

(5 points)

Deadline expired on 10 June 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle x,y\) egész számok kielégítik az egyenletet. A két szám bármely közös osztója osztja az \(\displaystyle x^2y^2-x^3-y^3=1\) számot, vagyis \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) relatív prímek. Szimmetria okok miatt elegendő az \(\displaystyle x\ge y\) esettel foglalkozni. Ha \(\displaystyle x<0\) lenne, akkor az egyenlet bal oldalán negatív, a jobb oldalán pozitív szám állna. Ha \(\displaystyle x=0\), akkor \(\displaystyle y^3+1=0\), \(\displaystyle y=-1\). Tegyük fel tehát, hogy \(\displaystyle x>0\), és hozzuk az egyenletet

\(\displaystyle y^2(x^2-y)=x^2y^2-y^3=x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\)

alakra.

Vizsgáljuk meg először az \(\displaystyle y\ge 0\) esetet. Ekkor \(\displaystyle x-1\ge y\ge 0\), ugyanis lévén \(\displaystyle x,y\) relatív prímek, \(\displaystyle x=y\) esetén \(\displaystyle x=y=1\) következne, ami nem ad megoldást. Tehát \(\displaystyle x^2-y\ge x^2-x+1>0\), vagyis szükégképpen \(\displaystyle y^2\le x+1\). Ha \(\displaystyle y^2\le x\) lenne, abból

\(\displaystyle y^2(x^2-y)\le x^3<x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\)

következne, vagyis \(\displaystyle y^2=x+1\), és ennek megfelelően \(\displaystyle x^2-y= x^2-x+1\), tehát \(\displaystyle y=x-1\). Innen \(\displaystyle (x-1)^2=x+1\), vagyis \(\displaystyle x=3\) következik, \(\displaystyle y\) értékére pedig 2 adódik.

Térjünk át az \(\displaystyle y<0\) eset vizsgálatára, ekkor \(\displaystyle -y>-x+1\), vagyis \(\displaystyle x^2-y> x^2-x+1>0\). Ezért most \(\displaystyle y^2< x+1\), vagyis \(\displaystyle y^2\le x\). Ha \(\displaystyle y^2\le x-1\) lenne, akkor \(\displaystyle -y\le y^2\) figyelembevételével

\(\displaystyle y^2(x^2-y)\le (x-1)(x^2+x-1)=x^3-2x+1<x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\)

lenne, ami nem lehetséges. Tehát \(\displaystyle y^2=x\) kell legyen. Minthogy \(\displaystyle x,y\) relatív prímek, ez csak \(\displaystyle x=1\), \(\displaystyle y=-1\) esetén lehetséges.

Az \(\displaystyle x\le y\) feltételt kielégítő megoldásokat \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) szerepének felcserélésével kaphatjuk meg. Ennek alapján a lehetséges \(\displaystyle (x;y)\) megoldáspárok: \(\displaystyle (0;-1)\), \(\displaystyle (3;2)\), \(\displaystyle (1;-1)\), \(\displaystyle (-1;0)\), \(\displaystyle (2;3)\) és \(\displaystyle (-1;1)\). Ezek mindegyike valóban megoldása az egyenletnek.


Statistics on problem B. 4277.
20 students sent a solution.
5 points:Éles András, Janzer Olivér, Karkus Zsuzsa, Máthé László, Mester Márton, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
3 points:4 students.
2 points:4 students.
1 point:3 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley