B. 4280. M is the midpoint of the arc AB containing vertex C on the circumscribed circle k of triangle ABC. J is the centre of the escribed circle drawn to side AB. The perpendicular drawn to angle bisector CJ at point J intersects line AC at D and line BC at E. Line MJ intersects circle k again at F. Prove that the circle passing through points D, E, F touches the lines AC and BC, and also touches the circle k.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

A háromszög szögeit a szokásos módon ,,-val jelölve, a kerületi szögek tétele szerint , így az AMB és CDE egyenlőszárú háromszögekben

Ugyancsak a kerületi szögek tétele szerint , vagyis

Ezek alapján az ADJF és a BEJF négyszög is húrnégyszög. Minthogy J az A-ból és B-ből induló külső szögfelezők metszéspontja,

Lévén ++=, tudjuk, hogy

Ezért az ADJ, AJB és JEB háromszögek hasonlók, és

Kihasználva, hogy ADJF és BEJF húrnégyszög, , továbbá

Ez azt jelenti, hogy az ADF és JEF háromszögek is hasonlók, vagyis . Az ADF szög tehát megegyezik a DEF körben a DF húrhoz tartozó kerületi szöggel, vagyis az AD egyenes érinti a DEF kört. Ezzel beláttuk, hogy a DEF kör érinti az AC egyenest, és ugyanígy a BC egyenest is.

[] Húzzunk most képzeletben érintőt az ABC és a DEF körhöz is az F pontban. Előbbi a BF húrral BAF, utóbbi az EF húrral EDF szöget zár be. Annak belátásához, hogy a két kör F-ben érinti egymást, elegendő megmutatni, hogy a két érintő egyenes egybeesik, vagyis hogy . Ismét kihasználhatjuk, hogy ADJF és BEJF húrnégyszög és hogy az ADF és JEF háromszögek hasonlók. Ezek alapján

ahogy azt bizonyítani kívántuk.

Statistics on problem B. 4280. 10 students sent a solution. 5 points: Ágoston Tamás, Éles András, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Perjési Gábor. 3 points: 2 students. 2 points: 1 student. 0 point: 1 student.