KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4280. M is the midpoint of the arc AB containing vertex C on the circumscribed circle k of triangle ABC. J is the centre of the escribed circle drawn to side AB. The perpendicular drawn to angle bisector CJ at point J intersects line AC at D and line BC at E. Line MJ intersects circle k again at F. Prove that the circle passing through points D, E, F touches the lines AC and BC, and also touches the circle k.

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A háromszög szögeit a szokásos módon &tex;\displaystyle \alpha, \beta, \gamma&xet;-val jelölve, a kerületi szögek tétele szerint &tex;\displaystyle AMB\angle =ACB\angle=\gamma&xet;, így az &tex;\displaystyle AMB&xet; és &tex;\displaystyle CDE&xet; egyenlőszárú háromszögekben

&tex;\displaystyle MAB\angle=MBA\angle=CDE\angle=CED\angle=\frac{\pi-\gamma}{2}.&xet;

Ugyancsak a kerületi szögek tétele szerint &tex;\displaystyle MFA\angle=MBA\angle=MAB\angle=MFB\angle&xet;, vagyis

&tex;\displaystyle AFJ\angle=\pi-AFM\angle=\pi-ADJ\angle=\pi-BEJ\angle=\pi-BFM\angle=BFJ\angle.&xet;

Ezek alapján az &tex;\displaystyle ADJF&xet; és a &tex;\displaystyle BEJF&xet; négyszög is húrnégyszög. Minthogy &tex;\displaystyle J&xet; az &tex;\displaystyle A&xet;-ból és &tex;\displaystyle B&xet;-ből induló külső szögfelezők metszéspontja,

&tex;\displaystyle JAD\angle=JAB\angle=\frac{\pi-\alpha}{2},\quad JBE\angle=JBA\angle=\frac{\pi-\beta}{2}.&xet;

Lévén &tex;\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=\pi&xet;, tudjuk, hogy

&tex;\displaystyle \frac{\pi-\alpha}{2}+\frac{\pi-\beta}{2}+\frac{\pi-\gamma}{2}=\pi.&xet;

Ezért az &tex;\displaystyle ADJ&xet;, &tex;\displaystyle AJB&xet; és &tex;\displaystyle JEB&xet; háromszögek hasonlók, és

&tex;\displaystyle DJA\angle=\frac{\pi-\beta}{2}, \quad AJB\angle=\frac{\pi-\gamma}{2}, \quad EJB\angle=\frac{\pi-\alpha}{2}.&xet;

Kihasználva, hogy &tex;\displaystyle ADJF&xet; és &tex;\displaystyle BEJF&xet; húrnégyszög, &tex;\displaystyle FAD\angle=\pi-FJD\angle=FJE\angle&xet;, továbbá

&tex;\displaystyle AFD\angle=AJD\angle=\frac{\pi-\beta}{2}=JBE\angle.&xet;

Ez azt jelenti, hogy az &tex;\displaystyle ADF&xet; és &tex;\displaystyle JEF&xet; háromszögek is hasonlók, vagyis &tex;\displaystyle ADF\angle=JEF\angle=DEF\angle&xet;. Az &tex;\displaystyle ADF&xet; szög tehát megegyezik a &tex;\displaystyle DEF&xet; körben a &tex;\displaystyle DF&xet; húrhoz tartozó kerületi szöggel, vagyis az &tex;\displaystyle AD&xet; egyenes érinti a &tex;\displaystyle DEF&xet; kört. Ezzel beláttuk, hogy a &tex;\displaystyle DEF&xet; kör érinti az &tex;\displaystyle AC&xet; egyenest, és ugyanígy a &tex;\displaystyle BC&xet; egyenest is.

Húzzunk most képzeletben érintőt az &tex;\displaystyle ABC&xet; és a &tex;\displaystyle DEF&xet; körhöz is az &tex;\displaystyle F&xet; pontban. Előbbi a &tex;\displaystyle BF&xet; húrral &tex;\displaystyle BAF&xet;, utóbbi az &tex;\displaystyle EF&xet; húrral &tex;\displaystyle EDF&xet; szöget zár be. Annak belátásához, hogy a két kör &tex;\displaystyle F&xet;-ben érinti egymást, elegendő megmutatni, hogy a két érintő egyenes egybeesik, vagyis hogy &tex;\displaystyle BFE\angle=BAF\angle+EDF\angle&xet;. Ismét kihasználhatjuk, hogy &tex;\displaystyle ADJF&xet; és &tex;\displaystyle BEJF&xet; húrnégyszög és hogy az &tex;\displaystyle ADF&xet; és &tex;\displaystyle JEF&xet; háromszögek hasonlók. Ezek alapján

&tex;\displaystyle BAF\angle+EDF\angle=BAF\angle+JAF\angle=BAJ\angle=JAD\angle=BJE\angle=BFE\angle,&xet;

ahogy azt bizonyítani kívántuk.


Statistics on problem B. 4280.
10 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Éles András, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Perjési Gábor.
3 points:2 students.
2 points:1 student.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program