Problem B. 4282. (September 2010)

B. 4282. A pool can be filled through four different pipes. If the first and second pipes are operating, it takes 2 hours to fill the pool. Through the second and third pipes it takes 3 hours, and through the third and fourth pipes it takes 4 hours. How long does it take to fill the pool if the first and fourth pipes are operating?

(3 pont)

Deadline expired on October 11, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy a medence az \(\displaystyle i\)-edik csapon át \(\displaystyle x_i\) óra alatt, az \(\displaystyle i\)-edik és a \(\displaystyle j\)-edik csap együttes megnyitása esetén pedig \(\displaystyle x_{ij}\) óra alatt telik meg. Mivel az \(\displaystyle i\)-edik csapból egy óra leforgása alatt a medence térfogatának \(\displaystyle 1/x_i\) része telik meg, ez azt jelenti, hogy

\(\displaystyle x_{ij}\left(\frac{1}{x_i}+\frac{1}{x_j}\right)=1,\qquad \frac{1}{x_i}+\frac{1}{x_j}=\frac{1}{x_{ij}}.\)

A feltételek szerint tehát

\(\displaystyle \frac{1}{x_{41}}=\frac{1}{x_4}+\frac{1}{x_1}=\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right) \left(\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}\right)-\left(\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)=\)

\(\displaystyle =\frac{1}{x_{12}}+\frac{1}{x_{34}}-\frac{1}{x_{23}} =\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=\frac{5}{12}.\)

Ha tehát a negyedik és az első csapot nyitjuk meg egyszerre, akkor a medence 12/5 óra, vagyis 2 óra 24 perc alatt telik meg.

Statistics:

359 students sent a solution.
3 points:	302 students.
2 points:	10 students.
1 point:	1 student.
0 point:	41 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2010