KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4282. (September 2010)

B. 4282. A pool can be filled through four different pipes. If the first and second pipes are operating, it takes 2 hours to fill the pool. Through the second and third pipes it takes 3 hours, and through the third and fourth pipes it takes 4 hours. How long does it take to fill the pool if the first and fourth pipes are operating?

(3 pont)

Deadline expired on 11 October 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy a medence az \(\displaystyle i\)-edik csapon át \(\displaystyle x_i\) óra alatt, az \(\displaystyle i\)-edik és a \(\displaystyle j\)-edik csap együttes megnyitása esetén pedig \(\displaystyle x_{ij}\) óra alatt telik meg. Mivel az \(\displaystyle i\)-edik csapból egy óra leforgása alatt a medence térfogatának \(\displaystyle 1/x_i\) része telik meg, ez azt jelenti, hogy

\(\displaystyle x_{ij}\left(\frac{1}{x_i}+\frac{1}{x_j}\right)=1,\qquad \frac{1}{x_i}+\frac{1}{x_j}=\frac{1}{x_{ij}}.\)

A feltételek szerint tehát

\(\displaystyle \frac{1}{x_{41}}=\frac{1}{x_4}+\frac{1}{x_1}=\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right) \left(\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}\right)-\left(\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)=\)

\(\displaystyle =\frac{1}{x_{12}}+\frac{1}{x_{34}}-\frac{1}{x_{23}} =\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=\frac{5}{12}.\)

Ha tehát a negyedik és az első csapot nyitjuk meg egyszerre, akkor a medence 12/5 óra, vagyis 2 óra 24 perc alatt telik meg.


Statistics:

359 students sent a solution.
3 points:302 students.
2 points:10 students.
1 point:1 student.
0 point:41 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley