KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4282. A pool can be filled through four different pipes. If the first and second pipes are operating, it takes 2 hours to fill the pool. Through the second and third pipes it takes 3 hours, and through the third and fourth pipes it takes 4 hours. How long does it take to fill the pool if the first and fourth pipes are operating?

(3 points)

Deadline expired on 11 October 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Tegyük fel, hogy a medence az \(\displaystyle i\)-edik csapon át \(\displaystyle x_i\) óra alatt, az \(\displaystyle i\)-edik és a \(\displaystyle j\)-edik csap együttes megnyitása esetén pedig \(\displaystyle x_{ij}\) óra alatt telik meg. Mivel az \(\displaystyle i\)-edik csapból egy óra leforgása alatt a medence térfogatának \(\displaystyle 1/x_i\) része telik meg, ez azt jelenti, hogy

\(\displaystyle x_{ij}\left(\frac{1}{x_i}+\frac{1}{x_j}\right)=1,\qquad \frac{1}{x_i}+\frac{1}{x_j}=\frac{1}{x_{ij}}.\)

A feltételek szerint tehát

\(\displaystyle \frac{1}{x_{41}}=\frac{1}{x_4}+\frac{1}{x_1}=\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right) \left(\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}\right)-\left(\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)=\)

\(\displaystyle =\frac{1}{x_{12}}+\frac{1}{x_{34}}-\frac{1}{x_{23}} =\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=\frac{5}{12}.\)

Ha tehát a negyedik és az első csapot nyitjuk meg egyszerre, akkor a medence 12/5 óra, vagyis 2 óra 24 perc alatt telik meg.


Statistics on problem B. 4282.
359 students sent a solution.
3 points:302 students.
2 points:10 students.
1 point:1 student.
0 point:41 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley