B. 4286. The leg of an isosceles right angled triangle is 36 units long. Starting at the right-angled vertex on one of the legs, an infinite sequence of regular triangles is drawn. One side of each triangle lies on the leg and the third vertex lies on the hypotenuse. The sides on the leg link together and cover the whole leg. Find the total area of the regular triangles. (Based on a Kavics Kupa competition problem)

(4 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

A derékszögű háromszög csúcsai legyenek az ábra szerint A,B,C. Az AC befogóra rajzolt szabályos háromszögek közül a legnagyobbnak az egyik csúcsa C kell legyen, ez a CDX háromszög a végtelen sorozat első eleme.

[] A D csúcs vetülete az AC,BC befogókra legyen E, illetve F, a DF egyenesre X-ben állított merőlegesnek az AB és DF egyenesekkel alkotott metszéspontja pedig Y, illetve Z. Mivel FD=CE=EX=DZ, a BDF és YDZ egyenlő szárú derékszögű háromszögek egybevágók. Ezért a BCXY trapéz területe megegyezik az FCXZ téglalap területével, melynek pontosan a felét tölti ki a CDX háromszög.

[] Ha a végtelen sorozatban szereplő háromszögek AC befogóra eső csúcsaiban merőlegeseket állítunk az AC egyenesre, akkor ezek az ABC háromszöget a BCXY trapézhoz hasonló négyszögek végtelen sorozatára bontják úgy, hogy minden egyes háromszög az őt tartalmazó trapéz területének pontosan felét tölti ki. Ezért a szabályos háromszögek területének összege megegyezik az ABC háromszög területének felével, ami 36²/4=18²=324 területegységet tesz ki.

Statistics on problem B. 4286. 151 students sent a solution. 4 points: 85 students. 3 points: 39 students. 2 points: 10 students. 1 point: 2 students. 0 point: 11 students. Unfair, not evaluated: 4 solutions.