KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4286. The leg of an isosceles right angled triangle is 36 units long. Starting at the right-angled vertex on one of the legs, an infinite sequence of regular triangles is drawn. One side of each triangle lies on the leg and the third vertex lies on the hypotenuse. The sides on the leg link together and cover the whole leg. Find the total area of the regular triangles. (Based on a Kavics Kupa competition problem)

(4 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

A derékszögű háromszög csúcsai legyenek az ábra szerint A,B,C. Az AC befogóra rajzolt szabályos háromszögek közül a legnagyobbnak az egyik csúcsa C kell legyen, ez a CDX háromszög a végtelen sorozat első eleme.

[] A D csúcs vetülete az AC,BC befogókra legyen E, illetve F, a DF egyenesre X-ben állított merőlegesnek az AB és DF egyenesekkel alkotott metszéspontja pedig Y, illetve Z. Mivel FD=CE=EX=DZ, a BDF és YDZ egyenlő szárú derékszögű háromszögek egybevágók. Ezért a BCXY trapéz területe megegyezik az FCXZ téglalap területével, melynek pontosan a felét tölti ki a CDX háromszög.

[] Ha a végtelen sorozatban szereplő háromszögek AC befogóra eső csúcsaiban merőlegeseket állítunk az AC egyenesre, akkor ezek az ABC háromszöget a BCXY trapézhoz hasonló négyszögek végtelen sorozatára bontják úgy, hogy minden egyes háromszög az őt tartalmazó trapéz területének pontosan felét tölti ki. Ezért a szabályos háromszögek területének összege megegyezik az ABC háromszög területének felével, ami 362/4=182=324 területegységet tesz ki.


Statistics on problem B. 4286.
151 students sent a solution.
4 points:85 students.
3 points:39 students.
2 points:10 students.
1 point:2 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program