Problem B. 4288. (September 2010)

B. 4288. A and B are two opposite vertices of a unit cube. Find the radius of the sphere that touches the faces of the cube that meet in A and the edges that meet in B.

(3 pont)

Deadline expired on October 11, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a gömb sugara \(\displaystyle r\) (ahol \(\displaystyle 0<r<1\)), akkor gömb középpontja az \(\displaystyle A\)-n átmenő lapoktól \(\displaystyle r\), a \(\displaystyle B\)-n átmenő lapoktól \(\displaystyle 1-r\) távolságra helyezkedik el, a \(\displaystyle B\)-n átmenő élektől tehát \(\displaystyle \sqrt{2}(1-r)\) távolságra esik. Ennek alapján

\(\displaystyle r=\sqrt{2}(1-r),\quad r(1+\sqrt{2})=\sqrt{2},\quad r=\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}={\sqrt{2}}(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}.\)

Statistics:

97 students sent a solution.
3 points:	Árvay Balázs, Bakó Aletta, Baranyai Zoltán, Baráti László, Boda Regina, Bodai Kristóf, Bogár Blanka, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Csizmadia Luca, Csörgő András, Csuma-Kovács Rita, Dankovics Viktor, Énekes Tamás, Győrfi 946 Mónika, Hajnal Máté, Jéhn Zoltán, Kenéz Balázs, Kiss Boldizsár, Kordás Péter, Lezsák Gábor, Maga Balázs, Medek Ákos, Móricz Tamás, Nagy 993 András, Nagy Dániel Bálint, Palincza Richárd, Schultz Vera Magdolna, Solti Bálint, Strenner Péter, Szabó 262 Lóránt, Szabó 928 Attila, Szentgyörgyi 994 Rita, Szkalisity Ábel, Tárkányi Máté, Turányi László, Ulveczki Balázs, Varga 515 Balázs, Varga 911 Szabolcs, Varjú János, Vuchetich Bálint, Weiler Virág, Weimann Richárd, Weisz Ambrus, Wiandt Zsófia, Zsakó András, Zsiros Ádám.
2 points:	22 students.
1 point:	11 students.
0 point:	11 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2010