KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4289. The diagonals of a trapezium A1A2A3A4 are A1A3=e and A2A4=f. Let ri denote the radius of the circumscribed circle of triangle AjAkAl, where {1,2,3,4}={i,j,k,l}. Show that \frac{r_2+r_4}{e}=\frac{r_1+r_3}{f}.

(4 points)

Deadline expired on 11 October 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A trapéz &tex;\displaystyle A_i&xet; csúcsánál levő szöget jelölje &tex;\displaystyle \alpha_i&xet;. A szinusz-tétel szerint

&tex;\displaystyle e=2r_2\sin\alpha_4=2r_4\sin\alpha_2,\quad f=2r_1\sin\alpha_3=2r_3\sin\alpha_1.&xet;

Ha a trapéz alapjai &tex;\displaystyle A_1A_2&xet; és &tex;\displaystyle A_3A_4&xet;, akkor &tex;\displaystyle \alpha_1+\alpha_4=\alpha_2+\alpha_3=\pi&xet;, vagyis &tex;\displaystyle \sin\alpha_1=\sin\alpha_4&xet; és &tex;\displaystyle \sin\alpha_2=\sin\alpha_3&xet;. Ezáltal

&tex;\displaystyle \frac{r_2+r_4}{e}= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sin\alpha_4}+\frac{1}{\sin\alpha_2}\right)= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sin\alpha_1}+\frac{1}{\sin\alpha_3}\right)= \frac{r_3+r_1}{f}.&xet;


Statistics on problem B. 4289.
74 students sent a solution.
4 points:63 students.
3 points:2 students.
2 points:3 students.
1 point:2 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program