KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4289. The diagonals of a trapezium A1A2A3A4 are A1A3=e and A2A4=f. Let ri denote the radius of the circumscribed circle of triangle AjAkAl, where {1,2,3,4}={i,j,k,l}. Show that \frac{r_2+r_4}{e}=\frac{r_1+r_3}{f}.

(4 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

A trapéz Ai csúcsánál levő szöget jelölje \alphai. A szinusz-tétel szerint

e=2r2sin \alpha4=2r4sin \alpha2,  f=2r1sin \alpha3=2r3sin \alpha1.

Ha a trapéz alapjai A1A2 és A3A4, akkor \alpha1+\alpha4=\alpha2+\alpha3=\pi, vagyis sin \alpha1=sin \alpha4 és sin \alpha2=sin \alpha3. Ezáltal

\frac{r_2+r_4}{e}=
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sin\alpha_4}+\frac{1}{\sin\alpha_2}\right)=
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sin\alpha_1}+\frac{1}{\sin\alpha_3}\right)=
\frac{r_3+r_1}{f}.


Statistics on problem B. 4289.
74 students sent a solution.
4 points:63 students.
3 points:2 students.
2 points:3 students.
1 point:2 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program