KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4291. Prove that the inequality below is true for all positive numbers a, b, c: abbcca\leaabbcc.

(4 points)

Deadline expired on 11 October 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A logaritmus-függvény tulajdonságai miatt az egyenlőtlenség ekvivalens a

\(\displaystyle 0\le (a-b)\ln a+(b-c)\ln b+(c-a)\ln c\)

egyenlőtlenséggel. A ciklikus szimmetria miatt elegendő az \(\displaystyle a\le b\le c\), illetve a \(\displaystyle c\le b\le a\) eseteket megvizsgálni. Az első esetben

\(\displaystyle (b-a)\ln a+ (c-b)\ln b\le (b-a)\ln c+ (c-b)\ln c=(c-a)\ln c,\)

míg a másodikban

\(\displaystyle (a-c)\ln c= (a-b)\ln c+(b-c)\ln c\le (a-b)\ln a+(b-c)\ln b\)

igazolja az állítást. Azt is könnyen leolvashatjuk, hogy egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha mind a három szám ugyanaz.


Statistics on problem B. 4291.
135 students sent a solution.
4 points:57 students.
3 points:5 students.
2 points:39 students.
1 point:11 students.
0 point:20 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley