KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4291. (September 2010)

B. 4291. Prove that the inequality below is true for all positive numbers a, b, c: abbcca\leaabbcc.

(4 pont)

Deadline expired on October 11, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A logaritmus-függvény tulajdonságai miatt az egyenlőtlenség ekvivalens a

\(\displaystyle 0\le (a-b)\ln a+(b-c)\ln b+(c-a)\ln c\)

egyenlőtlenséggel. A ciklikus szimmetria miatt elegendő az \(\displaystyle a\le b\le c\), illetve a \(\displaystyle c\le b\le a\) eseteket megvizsgálni. Az első esetben

\(\displaystyle (b-a)\ln a+ (c-b)\ln b\le (b-a)\ln c+ (c-b)\ln c=(c-a)\ln c,\)

míg a másodikban

\(\displaystyle (a-c)\ln c= (a-b)\ln c+(b-c)\ln c\le (a-b)\ln a+(b-c)\ln b\)

igazolja az állítást. Azt is könnyen leolvashatjuk, hogy egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha mind a három szám ugyanaz.


Statistics:

135 students sent a solution.
4 points:57 students.
3 points:5 students.
2 points:39 students.
1 point:11 students.
0 point:20 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley