KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4292. (October 2010)

B. 4292. The feet of the perpendiculars dropped from vertex C of triangle ABC onto the interior angle bisectors from vertices A and B are E and F, respectively. The inscribed circle of the triangle touches side AC at point D. Prove that EF=CD.

(3 pont)

Deadline expired on 10 November 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A szögfelezők a háromszögbe írható kör \(\displaystyle O\) középpontjában metszik egymást. Az \(\displaystyle AOB\), \(\displaystyle BOC\), \(\displaystyle COA\) szögek nagysága rendre

\(\displaystyle \pi-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=\frac{\pi+\gamma}{2},\ \frac{\pi+\alpha}{2},\ \frac{\pi+\beta}{2}.\)

Ezért \(\displaystyle COE\) és \(\displaystyle COF\) szög is hegyesszög, továbbá

\(\displaystyle EOF\sphericalangle=AOB\sphericalangle=\frac{\pi+\gamma}{2}\)

és

\(\displaystyle COD\sphericalangle=\frac{\pi-\gamma}{2}=\pi-EOF\sphericalangle=ECF\sphericalangle.\)

Mivel a \(\displaystyle CDO, CEO\) és \(\displaystyle CFO\) szög is derékszög, a \(\displaystyle D,E,F\) pontok a \(\displaystyle CO\) átmérőjű körön helyezkednek el. Ebben a körben a \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle EF\) húrhoz egyaránt \(\displaystyle \frac{\pi-\gamma}{2}\) nagyságú kerületi szög tartozik, vagyis a két húr valóban ugyanolyan hosszú.


Statistics:

90 students sent a solution.
3 points:60 students.
2 points:22 students.
1 point:3 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley