KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4293. The sum of three positive integers is 2010, and the sum of their reciprocals is \frac{1}{58}. What are these numbers?

(Italian competition problem)

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

A keresett számokat jelölje x,y,z; ekkor

x+y+z=2010,\qquad \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{xy+xz+yz}{xyz}=\frac{1}{58}.

Mivel a három szám összege osztható 3-mal, vagy páronként különböző maradékot adnak 3-mal osztva, vagy mind a három szám ugyanolyan maradékot ad. Az első esetben a fenti tört számlálója nem osztható 3-mal, a nevezője viszont igen, ez tehát nem lehetséges. Ha mindhárom szám ugyanazt a 0-tól különböző maradékot adja, akkor pedig a számláló lesz 3-mal osztható, de a nevező nem. Következésképpen alkalmas a,b,c pozitív egész számokkal x=3a, y=3b, z=3c,

a+b+c=670,\qquad \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=
\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{3}{58}.

Az a,b,c számok közül valamelyik osztható kell legyen 29-cel. Szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy a=29k alkalmas k pozitív egész számmal. Ekkor a második egyenletet átrendezve az 58k(b+c)=(3k-2)bc összefüggésre jutunk. A jobb oldalon álló szorzat valamelyik tagja osztható kell legyen 29-cel. Mivel 29k<670, kapjuk, hogy k\le23, 3k-2\le67. Ez a szám tehát csak akkor lehet osztható 29-cel, ha 3k-2=58, k=20, a=580. Ekkor b+c=90 és 1800=20(b+c)=bc, vagyis {b,c}={30,60}. Innen kapjuk az {x,y,z}={90,180,1740} megoldást.

A másik lehetőség szerint b vagy c osztható 29-cel. Tegyük fel, hogy alkalmas \ell pozitív egész számmal b=29\ell, ekkor c=29m+3, ahol m nemnegatív egész szám és

k+\ell+m=23,\qquad
\frac{1}{29k}+\frac{1}{29\ell}+\frac{1}{29m+3}=\frac{3}{58}.

Nyilván m>0 és a k,\ell,m számok közül nem lehet mindegyik legalább 2, mert akkor a bal oldalon 3/58-nál kisebb szám állna. Ha k és \ell közül valamelyik, mondjuk k értéke 1 lenne, akkor

\frac{1}{29\ell}+\frac{1}{29m+3}=\frac{1}{58},\quad
\frac{1}{29m+3}=\frac{1}{58}-\frac{1}{29\ell}=\frac{\ell-2}{58\ell},

vagyis 58\ell=(29m+3)(\ell-2) lenne, ami nem lehetséges, hiszen \ell\le23 miatt a jobb oldalon álló szorzat egyik tényezője sem osztható 29-cel. Ha pedig m értéke lenne 1, akkor \ell+k=22 és

\frac{1}{29k}+\frac{1}{29\ell}=\frac{3}{58}-\frac{1}{32},\qquad
\frac{22}{\ell k}=\frac{\ell+k}{\ell k}=\frac{1}{k}+\frac{1}{\ell}=
\frac{3}{2}-\frac{29}{32}=\frac{19}{32}

lenne, ami szintén nem lehetséges, hiszen 32 és 22 is relatív prím a 19-hez. A keresett számok tehát 90, 180 és 1740.


Statistics on problem B. 4293.
56 students sent a solution.
5 points:Beke Lilla, Bogár Blanka, Bor Julianna, Dudás 002 Zsolt, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Homonnay Bálint, Horváth János, Janzer Olivér, Lenger Dániel, Nagy 111 Miklós, Nagy Róbert, Németh Krisztián, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Sieben Bertilla, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Varnyú József, Veitz Kristóf Tamás, Zsakó András.
4 points:Böőr Katalin, Damásdi Gábor, Hajnal Máté, Jankovics Éva, Kiss 542 Robin, Viharos Andor, Weimann Richárd, Weisz Gellért.
3 points:11 students.
2 points:4 students.
1 point:6 students.
0 point:5 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program