Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4294. (October 2010)

B. 4294. What is the maximum number of edges of a regular decagonal right prism that a plane may intersect?

(3 pont)

Deadline expired on November 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először megmutatjuk, hogy egyetlen sík sem metszheti a hasábnak több, mint 12 élét. Mind az alaplapnak, mind a fedőlapnak nulla vagy két élét metszheti a sík. Ha valamelyiket nem metszi, akkor az állítás nyilvánvaló, hiszen a hasábnak összesen 10 darab oldaléle van. Ha mindkettőt metszi, akkor vetítsük le a hasábot és a metsző síkot is egy olyan \(\displaystyle S\) síkra, amely egyaránt merőleges a hasáb alaplapjára és a metsző síkra is. A hasáb vetülete egy téglalap lesz, a metsző sík vetülete pedig egy olyan egyenes, amely a téglalapnak azt a két, egymással párhuzamos oldalát metszi, melyek az alap-, illetve fedőlap vetületeként keletkeznek. A téglalap másik két oldala egy-egy oldalél vetülete; ezeket az oldaléleket a sík nem metszi. Ha tehát egy sík az alap- és a fedőlapnak is két élét metszi, akkor legfeljebb 8 oldalélet metszhet.

Ennek a gondolatnak a segítségével könnyű példát mutatni olyan síkra, amely a hasábnak pontosan 12 élét metszi. Legyen az alaplap az \(\displaystyle A_1A_2\ldots A_{10}\), a fedőlap pedig a \(\displaystyle B_1B_2\ldots B_{10}\) sokszög, ahol a hasáb oldalélei az \(\displaystyle A_1B_1,\ldots,A_{10}B_{10}\) szakaszok. Vetítsük le a hasábot az \(\displaystyle A_1A_2B_2B_1\) lap \(\displaystyle S\) síkjára, az \(\displaystyle A_i, B_i\) csúcsok vetületét jelölje \(\displaystyle A_i', B_i'\). Ekkor a vetület az \(\displaystyle A_9'A_4'B_4'B_9'\) téglalap. Tekintsük azt az egyenest, amelyik áthalad az \(\displaystyle A_9'A_{10}'\) és a \(\displaystyle B_3'B_4'\) szakaszok felezőpontján. Ha ezen az egyenesen át az \(\displaystyle S\) síkra merőleges síkot állítunk, az metszeni fogja az alaplapnak \(\displaystyle A_9\)-ből, a fedőlapnak pedig a \(\displaystyle B_4\)-ből induló éleit, valamint az összes oldalélet is az \(\displaystyle A_9B_9\), \(\displaystyle A_4B_4\) élek kivételével.


Statistics:

153 students sent a solution.
3 points:85 students.
2 points:49 students.
1 point:11 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2010