KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4296. Let ma and mb denote the lengths of the altitudes drawn to sides a and b of a triangle. Show that if a>b then a2010+ma2010\geb2010+mb2010.

(4 points)

Deadline expired on 10 November 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Nyilván &tex;\displaystyle a\ge m_b&xet; és &tex;\displaystyle b\ge m_a&xet;, ahol egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha az &tex;\displaystyle a&xet; és &tex;\displaystyle b&xet; oldalak egymásra merőlegesek. Ezen kívül &tex;\displaystyle am_a=bm_b=2t&xet;, ahol &tex;\displaystyle t&xet; a háromszög területe. Legyen &tex;\displaystyle a^{2010}=x_a&xet;, &tex;\displaystyle b^{2010}=x_b&xet;, &tex;\displaystyle m_a^{2010}=y_a&xet;, &tex;\displaystyle m_b^{2010}=y_b&xet;; ekkor a fentiek szerint &tex;\displaystyle x_a>x_b\ge y_a&xet;, valamint &tex;\displaystyle x_ay_a=x_by_b=c=(2t)^{2010}&xet;. A bizonyítandó

&tex;\displaystyle x_a+\frac{c}{x_a}\ge x_b+\frac{c}{x_b}&xet;

egyenlőtlenség ekvivalens az

&tex;\displaystyle x_a^2x_b+cx_b\ge x_b^2x_a+cx_a&xet;

egyenlőtlenséggel, amit &tex;\displaystyle (x_a-x_b)(x_ax_b-c)\ge 0&xet; alakra hozhatunk. Itt az első tényező pozitív, a második tényező pedig &tex;\displaystyle x_ax_b\ge x_ay_a=c&xet; miatt nemnegatív. Ezzel az állítást bebizonyítottuk, egyenlőség pedig pontosan akkor áll fenn, ha &tex;\displaystyle x_b=y_a&xet;, vagyis ha az &tex;\displaystyle a&xet; és &tex;\displaystyle b&xet; oldalak egymásra merőlegesek.


Statistics on problem B. 4296.
121 students sent a solution.
4 points:89 students.
3 points:8 students.
2 points:2 students.
1 point:11 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program