KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4297. (October 2010)

B. 4297. Prove that -\frac{1}{2}\le \frac{(x+y)(1-xy)}{(1+x^{2})(1+y^{2})}\le\frac{1}{2} for all real numbers x and y.

(4 pont)

Deadline expired on 10 November 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle xy=1\), akkor a kifejezés értéke 0, egyébként pedig az \(\displaystyle x=\tg\alpha, y=\tg\beta\) helyettesítéssel \(\displaystyle \tg(\alpha+\beta)\) értelmes, és

\(\displaystyle 1+x^2=\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{1}{\cos^2\alpha},\ 1+y^2=\frac{1}{\cos^2\beta},\ \tg(\alpha+\beta)=\frac{x+y}{1-xy}.\)

Ekkor tehát

\(\displaystyle \frac{(x+y)(1-xy)}{(1+x^{2})(1+y^{2})}= \tg(\alpha+\beta)(1-\tg\alpha\tg\beta)^2\cos^2\alpha\cos^2\beta=\)

\(\displaystyle =\tg(\alpha+\beta)(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)^2= \sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha+\beta).\)

Mivel tetszőleges \(\displaystyle u,v\) valós számokra \(\displaystyle u^2+v^2\ge 2uv\) és \(\displaystyle u^2+v^2\ge -2uv\) is fennáll, kapjuk, hogy

\(\displaystyle |\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha+\beta)|\le \frac{1}{2}(\sin^2(\alpha+\beta)+ \cos^2(\alpha+\beta))=\frac{1}{2}.\)

Ez bizonyítja az állítást. A megoldásból az is leolvasható, hogy egyenlőség \(\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\pm\cos(\alpha+\beta)\) esetén áll fenn, vagyis ha \(\displaystyle \tg(\alpha+\beta)=\pm1\),

\(\displaystyle \arctg x+\arctg y\in \left\{-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right\}.\)


Statistics:

>
101 students sent a solution.
4 points:Bősze Zsuzsanna, Dudás 002 Zsolt, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Halász Dániel, Hegedűs Csaba, Köpenczei Gergő, Máthé László, Németh Krisztián, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Schultz Vera Magdolna, Sieben Bertilla, Szabó 928 Attila, Viharos Andor, Zahemszky Péter.
3 points:65 students.
2 points:6 students.
1 point:2 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley