Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4297. (October 2010)

B. 4297. Prove that -\frac{1}{2}\le \frac{(x+y)(1-xy)}{(1+x^{2})(1+y^{2})}\le\frac{1}{2} for all real numbers x and y.

(4 pont)

Deadline expired on November 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle xy=1\), akkor a kifejezés értéke 0, egyébként pedig az \(\displaystyle x=\tg\alpha, y=\tg\beta\) helyettesítéssel \(\displaystyle \tg(\alpha+\beta)\) értelmes, és

\(\displaystyle 1+x^2=\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{1}{\cos^2\alpha},\ 1+y^2=\frac{1}{\cos^2\beta},\ \tg(\alpha+\beta)=\frac{x+y}{1-xy}.\)

Ekkor tehát

\(\displaystyle \frac{(x+y)(1-xy)}{(1+x^{2})(1+y^{2})}= \tg(\alpha+\beta)(1-\tg\alpha\tg\beta)^2\cos^2\alpha\cos^2\beta=\)

\(\displaystyle =\tg(\alpha+\beta)(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)^2= \sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha+\beta).\)

Mivel tetszőleges \(\displaystyle u,v\) valós számokra \(\displaystyle u^2+v^2\ge 2uv\) és \(\displaystyle u^2+v^2\ge -2uv\) is fennáll, kapjuk, hogy

\(\displaystyle |\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha+\beta)|\le \frac{1}{2}(\sin^2(\alpha+\beta)+ \cos^2(\alpha+\beta))=\frac{1}{2}.\)

Ez bizonyítja az állítást. A megoldásból az is leolvasható, hogy egyenlőség \(\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\pm\cos(\alpha+\beta)\) esetén áll fenn, vagyis ha \(\displaystyle \tg(\alpha+\beta)=\pm1\),

\(\displaystyle \arctg x+\arctg y\in \left\{-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right\}.\)


Statistics:

101 students sent a solution.
4 points:Bősze Zsuzsanna, Dudás 002 Zsolt, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Halász Dániel, Hegedűs Csaba, Köpenczei Gergő, Máthé László, Németh Krisztián, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Schultz Vera Magdolna, Sieben Bertilla, Szabó 928 Attila, Viharos Andor, Zahemszky Péter.
3 points:65 students.
2 points:6 students.
1 point:2 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2010