KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4298. (October 2010)

B. 4298. Given a regular pentagon, find the point for which the sum of the distances from the vertices of the pentagon is minimal.

(Balázs Csikós, Budapest)

(4 pont)

Deadline expired on November 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az ötszög középpontját jelölje \(\displaystyle O\). Ennek a csúcsoktól vett távolságösszege \(\displaystyle 5r\), ahol \(\displaystyle r\) az ötszög köré írható kör sugarának hossza. Tekintsünk egy tetszőleges \(\displaystyle P\ne O\) pontot; erre a pontra a szóban forgó összeget jelölje \(\displaystyle \sigma_P\). A \(\displaystyle P=P_1\) pontot \(\displaystyle O\) körül rendre \(\displaystyle 2\pi/5\), \(\displaystyle 4\pi/5\), \(\displaystyle 6\pi/5\) és \(\displaystyle 8\pi/5\) nagyságú szöggel elforgatva képezzük a \(\displaystyle P_2,P_3,P_4,P_5\) pontokat; ezek \(\displaystyle P_1\)-gyel együtt egy szabályos ötszög csúcsait alkotják. Jegyezzük meg, hogy a \(\displaystyle p_i=\overrightarrow{OP_i}\) vektorok összege nulla, hiszen az \(\displaystyle O\) pont körüli \(\displaystyle 2\pi/5\) szögű elforgatás az összeg tagjait ciklikusan permutálja.

A \(\displaystyle P_i\) pontokból az ötszög egy rögzített \(\displaystyle A\) csúcsába mutató \(\displaystyle a_i\) vektorok hosszának összege nyilván ugyanakkora, mint \(\displaystyle \sigma_P\). Minthogy \(\displaystyle p_i+a_i=\overrightarrow{OA}\),

\(\displaystyle \sum_{i=1}^5a_i=\sum_{i=1}^5p_i+\sum_{i=1}^5a_i=\sum_{i=1}^5(p_i+a_i)= 5\cdot\overrightarrow{OA}.\)

Ezért ha az \(\displaystyle a_i\) vektornak az \(\displaystyle OA\) egyenesre vett merőleges vetülete \(\displaystyle a_i'\), akkor \(\displaystyle \sum_{i=1}^5a_i'=5\cdot\overrightarrow{OA}\) is fennáll. Az \(\displaystyle a_i'\) vektor nyilván nem hosszabb, mint \(\displaystyle a_i\). Mivel pedig a \(\displaystyle P_i\) pontok közül legfeljebb egy esik az \(\displaystyle OA\) egyenesre, az \(\displaystyle a_i'\) vektorok közül legalább négy ténylegesen rövidebb, mint a neki megfelelő \(\displaystyle a_i\). Ezért a háromszög-egyenlőtlenség alapján

\(\displaystyle \sigma_P=\sum_{i=1}^5|a_i|>\sum_{i=1}^5|a_i'| \ge \left|\sum_{i=1}^5a_i'\right|=\left|5\cdot\overrightarrow{OA}\right|= 5\cdot\left|\overrightarrow{OA}\right|=5r.\)

Ez pedig azt jelenti, hogy a keresett pont egyértelműen létezik, és nem más, mint az ötszög középpontja.


Statistics:

61 students sent a solution.
4 points:Beke Lilla, Beleznay Soma, Dudás 002 Zsolt, Hegedűs Csaba, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kiss 542 Robin, Nagy Róbert, Simig Dániel, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Varnyú József, Viharos Andor, Weisz Gellért.
3 points:Ágoston Péter, Damásdi Gábor, Fonyó Viktória, Győrfi 946 Mónika, Hopp Norbert, Incze Edit, Kaprinai Balázs, Kenéz Balázs, Lenger Dániel, Máthé László, Neukirchner Elisabeth, Zilahi Tamás.
2 points:8 students.
1 point:6 students.
0 point:19 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley