KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4299. Parallelogram CDEF is inscribed in triangle ABC, with vertices D, E, F lying on sides CA, AB and BC, respectively. Given the length of the line segment DF, construct the point E. For what point E will the length of diagonal DF be minimal?

(Sándor Katz, Bonyhád)

(5 points)

Deadline expired on 10 November 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az \(\displaystyle AB,BC,CA\) oldalak felezőpontját jelölje rendre \(\displaystyle X,Y,Z\), az \(\displaystyle EF\) szakasz felezőpontját pedig \(\displaystyle H\). Mivel \(\displaystyle H\) egyben a \(\displaystyle CD\) szakasz felezőpontja is, a \(\displaystyle H\) pont illeszkedik a háromszög \(\displaystyle YZ\) középvonalára. Ha az \(\displaystyle EF\) szakasz egybeesik az \(\displaystyle YZ\) szakasszal, akkor \(\displaystyle D=X\). Tegyük fel, hogy \(\displaystyle E\) az \(\displaystyle YC\), \(\displaystyle F\) pedig az \(\displaystyle AZ\) szakasz belső pontja. Az \(\displaystyle F\) pont \(\displaystyle Z\)-re vonatkozó tükörképe legyen \(\displaystyle F'\), az \(\displaystyle EF'\) szakasz felezőpontja pedig \(\displaystyle H'\). Ekkor \(\displaystyle HZ\), \(\displaystyle ZH'\) és \(\displaystyle HH'\) az \(\displaystyle EFF'\) háromszög középvonalai.

A \(\displaystyle ZHH'\) háromszöget \(\displaystyle C\)-ből kétszeresére nagyítva azt az \(\displaystyle ADG\) háromszöget kapjuk, amelynek \(\displaystyle G\) csúcsa a \(\displaystyle CX\) szakasz belső pontja és \(\displaystyle \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{FE}\). Megfordítva, ha \(\displaystyle G\) a \(\displaystyle CX\) szakasz olyan pontja, amelyre \(\displaystyle AG=EF\), akkor ehhez egyértelműen tartozik egy megfelelő \(\displaystyle DECF\) paralelogramma.

Ezek alapján a szerkesztés a következőképpen végezhető el. Az \(\displaystyle A\) csúcs, mint középpont köré \(\displaystyle EF\) sugarú kört rajzolunk, ez a \(\displaystyle CX\) egyenest 0, 1 vagy 2 pontban metszi. Nyilván ugyanezeket a metszéspontokat kapjuk akkor is, ha a \(\displaystyle B\) csúcsot választjuk középpontnak. Válasszuk ki ezek közül azokat a \(\displaystyle G\) pontokat, amelyek a \(\displaystyle CX\) szakaszra esnek, de nem esnek egybe \(\displaystyle C\)-vel. Ha \(\displaystyle AG=EF\), akkor a \(\displaystyle G\)-n keresztül \(\displaystyle AC\)-vel párhuzamosan húzott egyenes metszi ki az \(\displaystyle AB\) szakaszból a \(\displaystyle D\) pontot, ha pedig \(\displaystyle BG=EF\), akkor a \(\displaystyle G\)-n keresztül \(\displaystyle BC\)-vel párhuzamosan húzott egyenes metszi ki az \(\displaystyle AB\) szakaszból a \(\displaystyle D\) pontot.

Az \(\displaystyle EF\) átló hossza nyilván akkor minimális, ha \(\displaystyle G\) a lehető legközelebb esik az \(\displaystyle A,B\) csúcsok valamelyikéhez, vagyis ha \(\displaystyle AG\) vagy \(\displaystyle BG\) merőleges \(\displaystyle CX\)-re. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle CA\le CB\), és legyen \(\displaystyle G_0\) az \(\displaystyle A\) pontból az \(\displaystyle CX\) egyenesre állított merőleges talppontja. Ekkor \(\displaystyle G_0\)-ból \(\displaystyle AC\)-vel párhuzamost húzva metszhetjük ki az \(\displaystyle AB\) szakaszból a keresett \(\displaystyle D\) pontot.

Mindezek figyelembevételével a \(\displaystyle CA\le CB\) feltevés mellett a feladat diszkussziója a következő. Ha az adott \(\displaystyle EF\) távolság kisebb, mint \(\displaystyle AG_0\), akkor a feladatnak nincsen megoldása. \(\displaystyle EF=AG_0\) esetén pontosan egy megoldás van, ez a helyzet speciálisan az \(\displaystyle AC=AB\) esetben is. Ha \(\displaystyle AG_0<EF<AC\), akkor két megoldást kapunk, \(\displaystyle AC\le EF< BC\) esetén megint csak egyet, \(\displaystyle BC\le EF\) esetén pedig ismétcsak nem lesz megoldás.

A letölthető GeoGebra ábra Tossenberger Tamás munkája: B.4299.html


Statistics on problem B. 4299.
30 students sent a solution.
5 points:Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Damásdi Gábor, Énekes Péter, Kabos Eszter, Kiss 542 Robin, Lajos Mátyás, Medek Ákos, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Tossenberger Tamás, Varnyú József, Viharos Andor.
4 points:Dudás 002 Zsolt, Janzer Olivér, Lenger Dániel, Perjési Gábor, Weisz Gellért.
3 points:4 students.
2 points:1 student.
1 point:4 students.
0 point:3 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley