Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4300. (October 2010)

B. 4300. Prove that the sum of the squares of 35 consecutive positive integers is always divisible by 35.

(3 pont)

Deadline expired on November 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle S(n)=n^2+(n+1)^2+\ldots+(n+34)^2\). Azt kell megmutatni, hogy minden \(\displaystyle n\) pozitív egész esetén \(\displaystyle S(n)\) osztható 35-tel. Ezt \(\displaystyle n\) szerinti teljes indukcióval igazoljuk. Az első 35 pozitív egész szám négyzetének összege az ismert képlet szerint

\(\displaystyle S(1)=1^2+2^2+\ldots+35^2=\frac{35\cdot(35+1)\cdot(2\cdot35+1)}{6}\)

nyilván osztható 35-tel. Ha pedig \(\displaystyle S(n)\)-ről már beláttuk, hogy osztható 35-tel, akkor

\(\displaystyle S(n+1)=S(n)-n^2+(n+35)^2=S(n)+70n+35^2\)

is osztható 35-tel.


Statistics:

286 students sent a solution.
3 points:249 students.
2 points:23 students.
1 point:3 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2010