KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4300. Prove that the sum of the squares of 35 consecutive positive integers is always divisible by 35.

(3 points)

Deadline expired on 10 November 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen \(\displaystyle S(n)=n^2+(n+1)^2+\ldots+(n+34)^2\). Azt kell megmutatni, hogy minden \(\displaystyle n\) pozitív egész esetén \(\displaystyle S(n)\) osztható 35-tel. Ezt \(\displaystyle n\) szerinti teljes indukcióval igazoljuk. Az első 35 pozitív egész szám négyzetének összege az ismert képlet szerint

\(\displaystyle S(1)=1^2+2^2+\ldots+35^2=\frac{35\cdot(35+1)\cdot(2\cdot35+1)}{6}\)

nyilván osztható 35-tel. Ha pedig \(\displaystyle S(n)\)-ről már beláttuk, hogy osztható 35-tel, akkor

\(\displaystyle S(n+1)=S(n)-n^2+(n+35)^2=S(n)+70n+35^2\)

is osztható 35-tel.


Statistics on problem B. 4300.
286 students sent a solution.
3 points:249 students.
2 points:23 students.
1 point:3 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley