KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4301. (October 2010)

B. 4301. The difference of the cubes of two consecutive positive integers is n2, where n>0. Prove that n is the sum of two perfect squares.

(Kalmár Competition 8th grade, regional round, 2010)

(4 pont)

Deadline expired on 10 November 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle n^2=(m+1)^3-m^3=3m^2+3m+1\), ahol \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle n\) is pozitív egész szám. A másodfokú egyenletet \(\displaystyle m\)-re megoldva

\(\displaystyle m=\frac{-3+\sqrt{9-12(1-n^2)}}{6},\)

vagyis \(\displaystyle 12n^2-3=3(2n-1)(2n+1)\) négyzetszám. Minthogy \(\displaystyle 2n-1\) és \(\displaystyle 2n+1\) egymáshoz relatív prímek, ez csak úgy lehetséges, ha \(\displaystyle 2n-1=a^2\), \(\displaystyle 2n+1=3b^2\), vagy pedig \(\displaystyle 2n-1=3a^2\), \(\displaystyle 2n+1=b^2\) teljesül alkalmas \(\displaystyle a,b\) pozitív egész számokkal. A második eset nem jöhet szóba, hiszen akkor a \(\displaystyle b^2\) szám 3-mal osztva 2 maradékot adna. Ezért \(\displaystyle 2n-1=a^2\), vagyis

\(\displaystyle n=\left(\frac{a-1}{2}\right)^2+\left(\frac{a+1}{2}\right)^2.\)

Lévén \(\displaystyle a\) páratlan szám, \(\displaystyle n\) valóban két négyzetszám összege.


Statistics:

>
102 students sent a solution.
4 points:88 students.
3 points:2 students.
2 points:1 student.
1 point:2 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley