Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4301. (October 2010)

B. 4301. The difference of the cubes of two consecutive positive integers is n2, where n>0. Prove that n is the sum of two perfect squares.

(Kalmár Competition 8th grade, regional round, 2010)

(4 pont)

Deadline expired on November 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle n^2=(m+1)^3-m^3=3m^2+3m+1\), ahol \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle n\) is pozitív egész szám. A másodfokú egyenletet \(\displaystyle m\)-re megoldva

\(\displaystyle m=\frac{-3+\sqrt{9-12(1-n^2)}}{6},\)

vagyis \(\displaystyle 12n^2-3=3(2n-1)(2n+1)\) négyzetszám. Minthogy \(\displaystyle 2n-1\) és \(\displaystyle 2n+1\) egymáshoz relatív prímek, ez csak úgy lehetséges, ha \(\displaystyle 2n-1=a^2\), \(\displaystyle 2n+1=3b^2\), vagy pedig \(\displaystyle 2n-1=3a^2\), \(\displaystyle 2n+1=b^2\) teljesül alkalmas \(\displaystyle a,b\) pozitív egész számokkal. A második eset nem jöhet szóba, hiszen akkor a \(\displaystyle b^2\) szám 3-mal osztva 2 maradékot adna. Ezért \(\displaystyle 2n-1=a^2\), vagyis

\(\displaystyle n=\left(\frac{a-1}{2}\right)^2+\left(\frac{a+1}{2}\right)^2.\)

Lévén \(\displaystyle a\) páratlan szám, \(\displaystyle n\) valóban két négyzetszám összege.


Statistics:

102 students sent a solution.
4 points:88 students.
3 points:2 students.
2 points:1 student.
1 point:2 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2010