KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4305. (November 2010)

B. 4305. What is the largest possible number of edges of a pyramid with an n-sided base that a plane may intersect?

(4 pont)

Deadline expired on 10 December 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy a sík az alaplapnak \(\displaystyle e\) elét metszi, méghozzá úgy, hogy az alaplapnak \(\displaystyle a\) csúcsa esik a sík egyik oldalára, \(\displaystyle b\) a másikra, ahol \(\displaystyle a\le b\) és \(\displaystyle a+b\le n\). Az \(\displaystyle e\) él mindegyikének van csúcsa a sík mindkét oldalán. Mivel az \(\displaystyle e\) él közül az \(\displaystyle a\) csúcs mindegyikére legfeljebb kettő illeszkedik, \(\displaystyle e\le 2a\). A sík ezen felül \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle a\) vagy \(\displaystyle b\) oldalélet metsz, attól függően, hogy a gúla csúcsa a sík melyik oldalára esik. A sík tehát a gúlának legfeljebb

\(\displaystyle 2a+b\le n+a\le \lfloor \frac{3n}{2}\rfloor\)

élét metszheti.

Ez el is érhető. A fenti gondolatmenetből ugyanis látszik, hogy ehhez elegendő találni olyan \(\displaystyle n\) oldalú sokszöget, melyhez létezik olyan egyenes, amely a sokszögnek \(\displaystyle n\), illetve \(\displaystyle n-1\) élét metszi, attól függően, hogy \(\displaystyle n\) páros avagy páratlan. Ilyen sokszögek konstrukcióját mutatja a fenti ábra; a részleteket az olvasó könnyen kidolgozhatja.


Statistics:

119 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Beleznay Soma, Herczeg József, Kiss 542 Robin, Lenger Dániel, Perjési Gábor, Sieben Bertilla, Simig Dániel, Veitz Kristóf Tamás, Viharos Andor.
3 points:Bogár Blanka, Böőr Katalin, Bunth Gergely, Damásdi Gábor, Dankovics Viktor, Kapronczay Mór, Kovács 737 Ármin, Medek Ákos, Nagy 224 Réka, Nagy Péter Áron, Sándor Áron Endre, Schultz Vera Magdolna, Szilágyi Gergely Bence, Varnyú József, Weimann Richárd.
2 points:7 students.
1 point:5 students.
0 point:81 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley