Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4306. (November 2010)

B. 4306. Solve the equation 16x2+y+16y2+x=1.

(Competition problem from Transsylvania)

(4 pont)

Deadline expired on December 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

\(\displaystyle 16^{x^2+y}\cdot 16^{y^2+x}=16^{x^2+y^2+x+y}\ge 16^{-\frac{1}{2}}= \frac{1}{4},\)

hiszen

\(\displaystyle x^2+y^2+x+y+\frac{1}{2}=\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2+ \Bigl(y+\frac{1}{2}\Bigr)^2\ge 0.\)

Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x=y=-\frac{1}{2}\). Felhasználva a számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenséget,

\(\displaystyle 16^{x^2+y} + 16^{y^2+x}\ge 2\sqrt{16^{x^2+y}\cdot 16^{y^2+x}}\ge 1,\)

és a leírtak alapján világos, hogy egyenlőség csak az \(\displaystyle x=y=-\frac{1}{2}\) esetben állhat fenn. Mivel akkor valóban fennáll, az egyenlet egyetlen megoldása \(\displaystyle x=y=-\frac{1}{2}\).


Statistics:

109 students sent a solution.
4 points:63 students.
3 points:10 students.
2 points:9 students.
1 point:14 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2010