 |
A B. 4306. feladat (2010. november) |
B. 4306. Oldjuk meg a következő egyenletet:
16x2+y+16y2+x=1.
(Erdélyi versenyfeladat)
(4 pont)
A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás.
\(\displaystyle 16^{x^2+y}\cdot 16^{y^2+x}=16^{x^2+y^2+x+y}\ge 16^{-\frac{1}{2}}= \frac{1}{4},\)
hiszen
\(\displaystyle x^2+y^2+x+y+\frac{1}{2}=\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2+ \Bigl(y+\frac{1}{2}\Bigr)^2\ge 0.\)
Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x=y=-\frac{1}{2}\). Felhasználva a számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenséget,
\(\displaystyle 16^{x^2+y} + 16^{y^2+x}\ge 2\sqrt{16^{x^2+y}\cdot 16^{y^2+x}}\ge 1,\)
és a leírtak alapján világos, hogy egyenlőség csak az \(\displaystyle x=y=-\frac{1}{2}\) esetben állhat fenn. Mivel akkor valóban fennáll, az egyenlet egyetlen megoldása \(\displaystyle x=y=-\frac{1}{2}\).
Statisztika:
109 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 63 versenyző. 3 pontot kapott: 10 versenyző. 2 pontot kapott: 9 versenyző. 1 pontot kapott: 14 versenyző. 0 pontot kapott: 11 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2010. novemberi matematika feladatai