Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4308. (November 2010)

B. 4308. Given the quadrilateral ABCD, show that the Feuerbach circles of triangles ABC, ABD, ACD and BCD have a point in common.

(Sz. Miklós, Herceghalom)

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle XY\) szakasz felezőpontját jelölje \(\displaystyle F_{XY}\). Az \(\displaystyle XYZ\) háromszög Feuerbach-köre áthalad az \(\displaystyle F_{XY}, F_{XZ}, F_{YZ}\) pontokon. Nyilvánvaló tehát, hogy bármely két Feuerbach-körnek van közös pontja. Folytonossági meggondolás alapján, melyet nem részletezünk, elegendő lesz az állítást azokban az esetekben igazolni, amikor a hat felezőpontból semelyik négy nem illeszkedik egy körre, és semelyik két Feuerbach-kör nem érinti egymást. Szimmetria okok miatt elegendő megmutatni, hogy a \(\displaystyle DAB\), \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle BCD\) háromszögek Feuerbach-köreinek van közös pontja.

Az \(\displaystyle A,B,C,D\) pontok helyvektorait jelölje rendre \(\displaystyle a,b,c,d\), ekkor az \(\displaystyle F_{XY}\) felezőpont helyvektora \(\displaystyle (x+y)/2\). Ha az \(\displaystyle O\) pont helyvektora \(\displaystyle (a+b+c+d)/4\), akkor világos, hogy \(\displaystyle O\) éppen az \(\displaystyle F_{AB}F_{CD}\), \(\displaystyle F_{AC}F_{BD}\) és \(\displaystyle F_{AD}F_{BC}\) szakaszok közös felezőpontja. Ez azt jelenti, hogy az \(\displaystyle U=F_{BC}\), \(\displaystyle V=F_{BD}\) és \(\displaystyle W=F_{AB}\) pontokat \(\displaystyle O\)-ra tükrözve éppen az \(\displaystyle U'=F_{AD}\), \(\displaystyle V'=F_{AC}\), illetve a \(\displaystyle W'=F_{CD}\) pontokat kapjuk.

Célunk tehát azt megmutatni, hogy az \(\displaystyle U'VW\), \(\displaystyle UV'W\) és \(\displaystyle UVW'\) köröknek van közös pontja. A bizonyításhoz célszerű irányított szögekkel dolgozni. A kerületi és középponti szögek tételére való hivatkozással könnyen igazolható a következő állítás: Az egymástól különböző, nem egy egyenesre eső \(\displaystyle P,Q,R,S\) pontok akkor és csak akkor illeszkednek egy körre, ha modulo \(\displaystyle 180^\circ\) számolva \(\displaystyle PRQ\sphericalangle= PSQ\sphericalangle\). Ennek megfelelően a továbbiakban az egyenlőséget mindig modulo \(\displaystyle 180^\circ\) értjük majd.

Az \(\displaystyle UV'W\) és \(\displaystyle UVW'\) köröknek \(\displaystyle U\)-tól különböző metszéspontja legyen \(\displaystyle M\). Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle M\) illeszkedik az \(\displaystyle U'VW\) körre, ami ekvivalens azzal, hogy (modulo \(\displaystyle 180^\circ\) számolva) \(\displaystyle VMW\sphericalangle=VU'W\sphericalangle\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle VMU\sphericalangle= VW'U\sphericalangle\) és \(\displaystyle UMW\sphericalangle=UV'W\sphericalangle\). Ezért

\(\displaystyle VMW\sphericalangle=VMU\sphericalangle+UMW\sphericalangle= VW'U\sphericalangle+UV'W\sphericalangle= VW'U\sphericalangle+U'VW'\sphericalangle,\)

hiszen a középpontos szimmetria miatt \(\displaystyle UV'W\sphericalangle= U'VW'\sphericalangle\). Ugyanezen ok miatt a \(\displaystyle W'U\) és \(\displaystyle U'W\) félegyenesek iránya megegyezik, ahonnan \(\displaystyle U'VW'\sphericalangle= UW'V\sphericalangle+VU'W\sphericalangle\) leolvasható. összegezve,

\(\displaystyle VMW\sphericalangle=VW'U\sphericalangle+UW'V\sphericalangle+ VU'W\sphericalangle=VW'U\sphericalangle-VW'U\sphericalangle+ VU'W\sphericalangle=VU'W\sphericalangle,\)

ahogyan azt igazolni kívántuk.

Ezzel az általános helyzetű esetekre az állítást igazoltuk. Mint azt már említettük, az elfajuló esetekre az állítás igazolható alkalmas határátmenet képzésével. Egy másik lehetőség az elfajuló esetek külön vizsgálata, ami azonban új gondolatot már nem igényel, ezért nem is részletezzük.


Statistics:

19 students sent a solution.
5 points:Bogár Blanka, Hajnal Máté, Karl E. Holter, Lenger Dániel, Máthé László, Varnyú József, Viharos Andor.
4 points:Damásdi Gábor, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Köpenczei Gergő, Weisz Gellért.
3 points:3 students.
1 point:1 student.
0 point:3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2010