Problem B. 4310.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

B. 4310. Let $a_0,a_1,\ldots,a_n$ be positive numbers, such that a_k+1-a_k $\ge$ 1 for all k=0,1,...,n-1. Show that

$1 + \frac1{a_0} \left(1+\frac1{a_1-a_0}\right) \cdots \left(1+\frac1{a_n-a_0}\right) \le \left(1+\frac1{a_0}\right) \left(1+\frac1{a_1}\right) \cdots \left(1+\frac1{a_n}\right).$

(IMC 2010 -- Blagoevgrad, Bulgaria)

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Az állítást n szerinti teljes indukcióval igazoljuk. Ha n=0, akkor az üres szorzat értékét 1-nek véve, mindkét oldalon $1+\frac{1}{a_0}$ áll. Tegyük fel, hogy valamely n természetes számra már igazoltuk az A_n $\le$ B_n egyenlőtlenséget minden megfelelő $a_0,\ldots,a_n$ sorozatra, ahol A_n a bal oldalon, B_n pedig a jobb oldalon álló kifejezést jelöli. Legyen a_n+1 $\ge$ a_n+1. Az indukciós lépéshez az

$1+(A_n-1)\left(1+\frac{1}{a_{n+1}-a_0}\right)\le B_n \left(1+\frac{1}{a_{n+1}} \right)$

egyenlőtlenséget kell igazolnunk. Mivel az indukciós feltevés miatt A_n $\le$ B_n, elegendő az

$1+(A_n-1)\left(1+\frac{1}{a_{n+1}-a_0}\right)\le A_n\left(1+\frac{1}{a_{n+1}} \right)$

egyenlőtlenséget igazolni. Ezt az egyenlőtlenséget rövid számolással A_na₀ $\le$ a_n+1 alakra hozhatjuk. Lévén a_n+1 $\ge$ a₀+n+1, elegendő lesz azt igazolni, hogy

$A_na_0\le a_0+n+1,\quad A_n\le 1+\frac{1}{a_0}(n+1).$

Vagyis elegendő annyit megmutatni, hogy

$\bigg(1+\frac1{a_1-a_0}\bigg) \cdots \bigg(1+\frac1{a_n-a_0}\bigg) \le n+1.$

Ez pedig nyilvánvaló:

$\bigg(1+\frac1{a_1-a_0}\bigg) \cdots \bigg(1+\frac1{a_n-a_0}\bigg) \le \bigg(1+\frac1{1}\bigg)\bigg(1+\frac1{2}\bigg) \cdots \bigg(1+\frac1{n}\bigg)=$

$=2\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\ldots\cdot\frac{n+1}{n}=n+1.$

A megoldásból az is kiderül, hogy egyenlőség pontosan $a_1-a_0=a_2-a_1=\ldots=a_{n}-a_{n-1}=1$ esetén áll fenn.

Statistics on problem B. 4310.

46 students sent a solution.

5 points: Árvay Balázs, Beke Lilla, Bodai Kristóf, Bogár Blanka, Damásdi Gábor, Dinev Georgi, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Hajnal Máté, Hegedűs Csaba, Homonnay Bálint, Kaprinai Balázs, Karl E. Holter, Kovács 444 Áron, Medek Ákos, Nagy 111 Miklós, Nagy Róbert, Neukirchner Elisabeth, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Szilágyi Gergely Bence, Tekeli Tamás, Tossenberger Tamás, Varga 515 Balázs, Varnyú József, Viharos Andor, Vuchetich Bálint, Zsakó András.

4 points: Boér Lehel, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Herczeg József, Kabos Eszter, Kúsz Ágnes, Köpenczei Gergő, Lenger Dániel, Máthé László, Perjési Gábor, Tatár Dániel, Weisz Gellért.

3 points: 4 students.

2 points: 1 student.

Unfair, not evaluated: 1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2010

Our web pages are supported by:

ELTE