Problem B. 4310. (November 2010)

B. 4310. Let $a_0,a_1,\ldots,a_n$ be positive numbers, such that a_k+1-a_k $\ge$ 1 for all k=0,1,...,n-1. Show that

$1 + \frac1{a_0} \left(1+\frac1{a_1-a_0}\right) \cdots \left(1+\frac1{a_n-a_0}\right) \le \left(1+\frac1{a_0}\right) \left(1+\frac1{a_1}\right) \cdots \left(1+\frac1{a_n}\right).$

(IMC 2010 -- Blagoevgrad, Bulgaria)

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az állítást $\displaystyle n$ szerinti teljes indukcióval igazoljuk. Ha $\displaystyle n=0$, akkor az üres szorzat értékét 1-nek véve, mindkét oldalon $\displaystyle 1+\frac{1}{a_0}$ áll. Tegyük fel, hogy valamely $\displaystyle n$ természetes számra már igazoltuk az $\displaystyle A_n\le B_n$ egyenlőtlenséget minden megfelelő $\displaystyle a_0,\ldots,a_n$ sorozatra, ahol $\displaystyle A_n$ a bal oldalon, $\displaystyle B_n$ pedig a jobb oldalon álló kifejezést jelöli. Legyen $\displaystyle a_{n+1}\ge a_n+1$. Az indukciós lépéshez az

$\displaystyle 1+(A_n-1)\left(1+\frac{1}{a_{n+1}-a_0}\right)\le B_n \left(1+\frac{1}{a_{n+1}} \right)$

egyenlőtlenséget kell igazolnunk. Mivel az indukciós feltevés miatt $\displaystyle A_n\le B_n$, elegendő az

$\displaystyle 1+(A_n-1)\left(1+\frac{1}{a_{n+1}-a_0}\right)\le A_n\left(1+\frac{1}{a_{n+1}} \right)$

egyenlőtlenséget igazolni. Ezt az egyenlőtlenséget rövid számolással $\displaystyle A_na_0\le a_{n+1}$ alakra hozhatjuk. Lévén $\displaystyle a_{n+1}\ge a_0+n+1$, elegendő lesz azt igazolni, hogy

$\displaystyle A_na_0\le a_0+n+1,\quad A_n\le 1+\frac{1}{a_0}(n+1).$

Vagyis elegendő annyit megmutatni, hogy

$\displaystyle \bigg(1+\frac1{a_1-a_0}\bigg) \cdots \bigg(1+\frac1{a_n-a_0}\bigg) \le n+1.$

Ez pedig nyilvánvaló:

$\displaystyle \bigg(1+\frac1{a_1-a_0}\bigg) \cdots \bigg(1+\frac1{a_n-a_0}\bigg) \le \bigg(1+\frac1{1}\bigg)\bigg(1+\frac1{2}\bigg) \cdots \bigg(1+\frac1{n}\bigg)=$

$\displaystyle =2\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\ldots\cdot\frac{n+1}{n}=n+1.$

A megoldásból az is kiderül, hogy egyenlőség pontosan $\displaystyle a_1-a_0=a_2-a_1=\ldots=a_{n}-a_{n-1}=1$ esetén áll fenn.

Statistics:

46 students sent a solution.

5 points: Árvay Balázs, Beke Lilla, Bodai Kristóf, Bogár Blanka, Damásdi Gábor, Dinev Georgi, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Hajnal Máté, Hegedűs Csaba, Homonnay Bálint, Kaprinai Balázs, Karl E. Holter, Kovács 444 Áron, Medek Ákos, Nagy 111 Miklós, Nagy Róbert, Neukirchner Elisabeth, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Szilágyi Gergely Bence, Tekeli Tamás, Tossenberger Tamás, Varga 515 Balázs, Varnyú József, Viharos Andor, Vuchetich Bálint, Zsakó András.

4 points: Boér Lehel, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Herczeg József, Kabos Eszter, Köpenczei Gergő, Kúsz Ágnes, Lenger Dániel, Máthé László, Perjési Gábor, Tatár Dániel, Weisz Gellért.

3 points: 4 students.

2 points: 1 student.

Unfair, not evaluated: 1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2010

46 students sent a solution.
5 points:	Árvay Balázs, Beke Lilla, Bodai Kristóf, Bogár Blanka, Damásdi Gábor, Dinev Georgi, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Hajnal Máté, Hegedűs Csaba, Homonnay Bálint, Kaprinai Balázs, Karl E. Holter, Kovács 444 Áron, Medek Ákos, Nagy 111 Miklós, Nagy Róbert, Neukirchner Elisabeth, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Szilágyi Gergely Bence, Tekeli Tamás, Tossenberger Tamás, Varga 515 Balázs, Varnyú József, Viharos Andor, Vuchetich Bálint, Zsakó András.
4 points:	Boér Lehel, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Herczeg József, Kabos Eszter, Köpenczei Gergő, Kúsz Ágnes, Lenger Dániel, Máthé László, Perjési Gábor, Tatár Dániel, Weisz Gellért.
3 points:	4 students.
2 points:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Already signed up?
New to KöMaL?