KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4311. P is a given point in the interior of the acute-angled triangle ABC. The lines AP, BP and CP intersect the opposite sides at the points A1, B1 and C1, respectively. Given that PA1=PB1=PC1=3 and AP+BP+CP=43, prove that AP.BP.CP=441.

(A. Máder and V. Vigh, Szeged)

(4 points)

Deadline expired on 10 December 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen \(\displaystyle AP=x\), \(\displaystyle BP=y\), \(\displaystyle CP=z\), az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe pedig \(\displaystyle t\). Ekkor az \(\displaystyle ABP\), \(\displaystyle BCP\), \(\displaystyle CAP\) háromszögek területe rendre

\(\displaystyle \frac{PC_1}{CC_1}\cdot t=\frac{3t}{3+z}, \quad \frac{PA_1}{AA_1}\cdot t=\frac{3t}{3+x}, \quad \frac{PB_1}{BB_1}\cdot t=\frac{3t}{3+y}.\)

Mivel a három háromszög az eredeti háromszög egy felbontását képezi,

\(\displaystyle \frac{3t}{3+x}+\frac{3t}{3+y}+\frac{3t}{3+z}=t,\)

vagyis

\(\displaystyle 3(x+3)(y+3)+3(x+3)(z+3)+3(y+3)(z+3)=(x+3)(y+3)(z+3).\)

Kifejtés és rendezés után ebből az \(\displaystyle xyz=9(x+y+z)+54\) egyenlőségre jutunk, vagyis valóban

\(\displaystyle AP \cdot BP \cdot CP =9(AP + BP + CP)+54=9\cdot 43+54=441.\)


Statistics on problem B. 4311.
22 students sent a solution.
4 points:Árvay Balázs, Bauer Barbara, Bogár Blanka, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Csahóczi 222 Márton, Dolgos Tamás, Énekes Péter, Halász Dániel, Köpenczei Gergő, Lenger Dániel, Nagy Balázs, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Tekeli Tamás, Zelena Réka.
3 points:Bicskei Dávid, Varjú János.
1 point:1 student.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley