Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4311. (November 2010)

B. 4311. P is a given point in the interior of the acute-angled triangle ABC. The lines AP, BP and CP intersect the opposite sides at the points A1, B1 and C1, respectively. Given that PA1=PB1=PC1=3 and AP+BP+CP=43, prove that AP.BP.CP=441.

(A. Máder and V. Vigh, Szeged)

(4 pont)

Deadline expired on December 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle AP=x\), \(\displaystyle BP=y\), \(\displaystyle CP=z\), az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe pedig \(\displaystyle t\). Ekkor az \(\displaystyle ABP\), \(\displaystyle BCP\), \(\displaystyle CAP\) háromszögek területe rendre

\(\displaystyle \frac{PC_1}{CC_1}\cdot t=\frac{3t}{3+z}, \quad \frac{PA_1}{AA_1}\cdot t=\frac{3t}{3+x}, \quad \frac{PB_1}{BB_1}\cdot t=\frac{3t}{3+y}.\)

Mivel a három háromszög az eredeti háromszög egy felbontását képezi,

\(\displaystyle \frac{3t}{3+x}+\frac{3t}{3+y}+\frac{3t}{3+z}=t,\)

vagyis

\(\displaystyle 3(x+3)(y+3)+3(x+3)(z+3)+3(y+3)(z+3)=(x+3)(y+3)(z+3).\)

Kifejtés és rendezés után ebből az \(\displaystyle xyz=9(x+y+z)+54\) egyenlőségre jutunk, vagyis valóban

\(\displaystyle AP \cdot BP \cdot CP =9(AP + BP + CP)+54=9\cdot 43+54=441.\)


Statistics:

22 students sent a solution.
4 points:Árvay Balázs, Bauer Barbara, Bogár Blanka, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Csahóczi 222 Márton, Dolgos Tamás, Énekes Péter, Halász Dániel, Köpenczei Gergő, Lenger Dániel, Nagy Balázs, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Tekeli Tamás, Zelena Réka.
3 points:Bicskei Dávid, Varjú János.
1 point:1 student.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2010