KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4312. (December 2010)

B. 4312. In a company, everyone knows 5 other people. (Acquaintances are mutual.) Two members of the company are appointed captains. The captains take turns selecting members for their teams, until everyone is selected. Prove that at the end of the selection process there are the same number of acquaintances within each team.

Suggested by T. Hubai and Z. Király

(3 pont)

Deadline expired on 10 January 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a társaságban \(\displaystyle n\) ember van, akkor ők összesen \(\displaystyle 5n\) embert ismernek. Mivel minden egyes ismeretség két embert feltételez, ez a szám megegyezik a kölcsönös ismeretségek számának kétszeresével, vagyis \(\displaystyle n=2k\) páros szám. Ez azt jelenti, hogy a választás végén mindkét csapatban ugyanannyi (\(\displaystyle k\)) tag lesz. Mindkét csapatra igaz tehát, hogy tagjai összesen \(\displaystyle 5k\) embert ismernek. Ha a két csapat között összesen \(\displaystyle m\) kölcsönös ismeretség áll fenn, akkor gondolatmenetünk szerint mindkét csapaton belül

\(\displaystyle \frac{5k-m}{2}\)

lesz az ismeretségek száma.


Statistics:

112 students sent a solution.
3 points:77 students.
2 points:25 students.
1 point:5 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley