Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4312. (December 2010)

B. 4312. In a company, everyone knows 5 other people. (Acquaintances are mutual.) Two members of the company are appointed captains. The captains take turns selecting members for their teams, until everyone is selected. Prove that at the end of the selection process there are the same number of acquaintances within each team.

Suggested by T. Hubai and Z. Király

(3 pont)

Deadline expired on January 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a társaságban \(\displaystyle n\) ember van, akkor ők összesen \(\displaystyle 5n\) embert ismernek. Mivel minden egyes ismeretség két embert feltételez, ez a szám megegyezik a kölcsönös ismeretségek számának kétszeresével, vagyis \(\displaystyle n=2k\) páros szám. Ez azt jelenti, hogy a választás végén mindkét csapatban ugyanannyi (\(\displaystyle k\)) tag lesz. Mindkét csapatra igaz tehát, hogy tagjai összesen \(\displaystyle 5k\) embert ismernek. Ha a két csapat között összesen \(\displaystyle m\) kölcsönös ismeretség áll fenn, akkor gondolatmenetünk szerint mindkét csapaton belül

\(\displaystyle \frac{5k-m}{2}\)

lesz az ismeretségek száma.


Statistics:

112 students sent a solution.
3 points:77 students.
2 points:25 students.
1 point:5 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2010