A B. 4314. feladat (2010. december)

B. 4314. Három koncentrikus kör sugara 1, 2, illetve 3 egység. A három körön úgy választottunk ki egy-egy pontot, hogy azok egy szabályos háromszög csúcsai legyenek. Mekkora lehet ennek a szabályos háromszögnek az oldala?

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A körök legyenek rendre \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_3\), a három kiválasztott pontot jelölje rendre \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\), a körök közös középpontját pedig \(\displaystyle O\). Tekintsük azt az \(\displaystyle A\) körüli \(\displaystyle 60^\circ\)-os forgatást, amely a \(\displaystyle B\) pontot \(\displaystyle C\)-be viszi; ez az \(\displaystyle O\) pontot a \(\displaystyle k_1\) kör egy \(\displaystyle D\) pontjába viszi. A \(\displaystyle k_2\) kör \(\displaystyle k_2'\) képe tehát egy \(\displaystyle D\) középpontú 2 sugarú körvonal, amely áthalad a \(\displaystyle C\) ponton. Ez a \(\displaystyle C\) pont a \(\displaystyle k_2'\)-t érintő \(\displaystyle k_3\) körre is illeszkedik, tehát \(\displaystyle C\)-ben ennek a két körnek közös érintője van. Ez azt jelenti, hogy a \(\displaystyle D\) pont illeszkedik az \(\displaystyle OC\) szakaszra, vagyis a \(\displaystyle COA\) szög megegyezik a \(\displaystyle 60^\circ\)-os \(\displaystyle DOA\) szöggel. A \(\displaystyle COA\) háromszögben \(\displaystyle OC=3\) és \(\displaystyle OA=1\), vagyis a koszinusz tétel szerint a szabályos háromszög oldala

\(\displaystyle AC=\sqrt{OC^2+OA^2-2\cdot OC\cdot OA\cdot\cos60^\circ}=\sqrt{7}.\)

A megoldásból könnyen látható az is, hogy ilyen háromszög valóban létezik.

Statisztika:

80 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	52 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	17 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2010. decemberi matematika feladatai