Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4315. (December 2010)

B. 4315. Given that r is a positive rational number and rr is also rational, prove that r is an integer.

(4 pont)

Deadline expired on January 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle r=a/b\), ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) egymáshoz relatív prím pozitív egész számok, és legyen

\(\displaystyle r^r=\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{a}{b}}=\frac{u}{v},\)

ahol \(\displaystyle u\) és \(\displaystyle v\) szintén egymáshoz relatív prím pozitív egész számok. Ekkor \(\displaystyle a^av^b=u^bb^a\). Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben \(\displaystyle r\) nem egész szám. Ekkor létezik olyan \(\displaystyle p\) prímszám, valamint \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle b_1\) pozitív egész számok, hogy \(\displaystyle b=p^\alpha b_1\) és \(\displaystyle b_1\) már nem osztható \(\displaystyle p\)-vel.

A fenti egyenlőségben a bal oldali szorzat is osztható kell legyen \(\displaystyle p\)-vel. Mivel \(\displaystyle a\) nem osztható \(\displaystyle p\)-vel, \(\displaystyle v\)-nek oszthatónak kell lennie \(\displaystyle p\)-vel, \(\displaystyle u\) pedig nem osztható \(\displaystyle p\)-vel. Legyen \(\displaystyle v=p^\beta v_1\), ahol \(\displaystyle v_1\) már nem osztható \(\displaystyle p\)-vel. Ekkor az \(\displaystyle a^av^b\) szám törzstényezős felbontásában a \(\displaystyle p\) prím \(\displaystyle \beta b\)-edik hatványon szerepel. Ugyanakkor az \(\displaystyle u^bb^a\) szám törzstényezős felbontásában a \(\displaystyle p\) prím \(\displaystyle \alpha a\)-adik hatványon szerepel, vagyis \(\displaystyle \beta b=\alpha a\). Következésképpen \(\displaystyle \alpha a\) osztható \(\displaystyle b\)-vel, és mivel \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) relatív prímek, \(\displaystyle \alpha\) is osztható \(\displaystyle b\)-vel. Ez azonban lehetetlen, hiszen \(\displaystyle \alpha<p^\alpha\le b\).


Statistics:

87 students sent a solution.
4 points:Bogár Blanka, Bor Julianna, Damásdi Gábor, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Herczeg József, Homonnay Bálint, Kabos Eszter, Kiss 542 Robin, Maga Balázs, Medek Ákos, Mihálykó András, Perjési Gábor, Simig Dániel, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Zilahi Tamás, Zsakó András.
3 points:Czipó Bence, Keszthelyi Gergely, Lenger Dániel, Nagy Bence Kristóf, Nagy Róbert, Weisz Gellért.
2 points:13 students.
1 point:4 students.
0 point:40 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2010