 |
A B. 4316. feladat (2010. december) |
B. 4316. Legyen az ABCD négyzet BC oldalának B-hez legközelebbi ötödölő pontja E, továbbá a CD oldal D-hez közelebbi harmadolópontjának C-re vonatkozó tükörképe F. Mutassuk meg, hogy az AE és BF egyenesek az ABCD négyzet köré írt körön metszik egymást.
Javasolta: Szászné Simon Judit (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Elegendő azt megmutatni, hogy \(\displaystyle CMB\sphericalangle=135^\circ\). Mivel a \(\displaystyle CMB\) szög nagyobb a \(\displaystyle 45^\circ\)-nál nyilván nagyobb \(\displaystyle CFB\) szögnél, ez egyenértékű azzal, hogy \(\displaystyle \sin CMF\sphericalangle=1/\sqrt{2}\). Legyen a négyzet oldala egységnyi, ekkor \(\displaystyle CF=2/3\). A \(\displaystyle CFM\) háromszögben
\(\displaystyle \sin CFM\sphericalangle=\sin CFB\sphericalangle=\frac{CB}{FB}=\frac{1}{\sqrt{CF^2+CB^2}}=\frac{3}{\sqrt{13}}.\)
A \(\displaystyle CM\) szakasz hosszának meghatározásához tekintsük az \(\displaystyle AE\) és \(\displaystyle DC\) egyenesek \(\displaystyle X\) metszéspontját. Az \(\displaystyle ABE\) és \(\displaystyle XCE\) háromszögek hasonlóságából \(\displaystyle CX=CX:AB=CE:BE=4\). Ezért \(\displaystyle FX=CX-CF=10/3\), vagyis az \(\displaystyle M\) pont az \(\displaystyle FB\) szakaszt \(\displaystyle FX:AB=10:3\) arányban osztja. Ha az \(\displaystyle M\) pont vetülete a \(\displaystyle CF\) és \(\displaystyle CB\) szakaszokra \(\displaystyle U\), illetve \(\displaystyle V\), akkor ennek alapján \(\displaystyle CV=\frac{10}{13}CB=\frac{10}{13}\) és \(\displaystyle CU=\frac{3}{13}CF=\frac{2}{13}\), ahonnan
\(\displaystyle CM=\sqrt{CU^2+CV^2}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{13}}.\)
Végül a szinusz-tétel alapján
\(\displaystyle \sin CMF\sphericalangle=\frac{CF}{CM}\cdot\sin CFM\sphericalangle=1/\sqrt{2},\)
ahogyan azt bizonyítani kívántuk.
Statisztika:
116 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 96 versenyző. 3 pontot kapott: 11 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2010. decemberi matematika feladatai