Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4317. (December 2010)

B. 4317. Solve the following simultaneous equations: \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} +
\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} =\frac{35}{12}, \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} -
\frac{y}{\sqrt{1-y^2}} =\frac{7}{12}.

Suggested by M. Szombathy, Eger

(4 pont)

Deadline expired on January 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy a \(\displaystyle -1<x,y<1\) számok kielégítik az egyenletrendszert; ez a feltétel szükséges ahhoz, hogy a szóban forgó kifejezések értelmesek legyenek. Ekkor \(\displaystyle x\) kiküszöbölhető, hiszen

\(\displaystyle \left(\frac{35}{12}-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\right)^2-\left(\frac{7}{12}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right)^2=\frac{1}{1-x^2}-\frac{x^2}{1-x^2}=1.\)

A bal oldalt szorzattá alakítva kapjuk, hogy

\(\displaystyle \left(\frac{7}{2}-\frac{1-y}{\sqrt{1-y^2}}\right) \left(\frac{7}{3}-\frac{1+y}{\sqrt{1-y^2}}\right)=1.\)

Mivel \(\displaystyle -1<y<1\), egyszerűsítés és a \(\displaystyle z=\sqrt{\frac{1+y}{1-y}}\) helyettesítés elvégzése után ez az egyenlet a

\(\displaystyle \left(\frac{7}{2}-\frac{1}{z}\right) \left(\frac{7}{3}-{z}\right)=1\)

alakra hozható. Beszorzás és \(\displaystyle 6z\)-vel történő bővítés után \(\displaystyle z\)-re a \(\displaystyle 21z^2-49z+14=0\) másodfokú egyenletet kapjuk, melynek megoldásai \(\displaystyle z_1=2\) és \(\displaystyle z_2=1/3\). Innen \(\displaystyle y\) lehetséges értékeire \(\displaystyle y_1=3/5\), illetve \(\displaystyle y_2=-4/5\) adódik. Ezután az első egyenletbe történő behelyettesítéssel kapjuk, hogy az első esetben \(\displaystyle x\) lehetséges értékei \(\displaystyle \pm(4/5)\), a második esetben pedig \(\displaystyle \pm(3/5)\). A második egyenletet is figyelembe véve pedig kiderül, hogy az egyenletrendszernek csak két megoldása van: \(\displaystyle x_1=4/5\), \(\displaystyle y_1=3/5\), illetve \(\displaystyle x_2=-(3/5)\), \(\displaystyle y_2=-(4/5)\).


Statistics:

84 students sent a solution.
4 points:Antal Dóra, Baráti László, Barczel Nikolett, Bauer Barbara, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Csuka Róbert, Csuma-Kovács Rita, Damásdi Gábor, Dinev Georgi, Fatér Alexa, Fonyó Viktória, Frittmann Júlia, Gróf Gábor, Gyarmati Richárd, Győrfi 946 Mónika, Kacz Dániel, Klincsik Gergely, Lenger Dániel, Máthé László, Matos Bence, Nagy 111 Miklós, Pusztaházi 124 Luca Sára, Sagmeister Ádám, Schwarcz Gergő, Simig Dániel, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Szórádi Márk, Takács 737 Gábor, Tossenberger Tamás, Tulassay Zsolt, Vágány András, Varga 911 Szabolcs, Varga Zoltán Attila, Varnyú József, Veres Andrea, Vuchetich Bálint, Weisz Ambrus, Weisz Gellért, Zsakó András, Zsiros Ádám.
3 points:12 students.
2 points:11 students.
1 point:6 students.
0 point:10 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2010