KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4318. Let P and Q be arbitrary points on the edges AB and CD of a given tetrahedron ABCD, respectively. Determine the locus of the midpoint of the line segment PQ.

(4 points)

Deadline expired on 10 January 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az &tex;\displaystyle AC,BC,BD,AD&xet; élek felezőpontjai legyenek rendre &tex;\displaystyle X,Y,Z,V&xet;. Ekkor &tex;\displaystyle XY&xet; és &tex;\displaystyle ZV&xet; is párhuzamos az &tex;\displaystyle AB&xet; éllel, és fele olyan hosszú, vagyis az &tex;\displaystyle XY&xet; és &tex;\displaystyle ZV&xet; szakaszok egyenlő hosszúak és párhuzamosak egymással. Hasonló állítás érvényes az &tex;\displaystyle YZ&xet; és &tex;\displaystyle VX&xet; szakaszokra is, tehát ilyen módon egy &tex;\displaystyle XYZV&xet; paralelogramma jön létre. állítjuk, hogy ennek a paralolagrammának a pontjai alkotják a keresett mértani helyet.

Legyen &tex;\displaystyle P&xet; az &tex;\displaystyle AB&xet; él egy tetszőleges rögzített pontja, és tegyük fel, hogy &tex;\displaystyle P&xet; az &tex;\displaystyle AB&xet; szakaszt &tex;\displaystyle \alpha:(1-\alpha)&xet; arányban osztja. Ekkor a &tex;\displaystyle CP&xet; szakasz &tex;\displaystyle P'&xet; felezőpontja is &tex;\displaystyle \alpha:(1-\alpha)&xet; arányban osztja az &tex;\displaystyle XY&xet; szakaszt, valamint a &tex;\displaystyle DP&xet; szakasz &tex;\displaystyle P''&xet; felezőpontja is &tex;\displaystyle \alpha:(1-\alpha)&xet; arányban osztja az &tex;\displaystyle VZ&xet; szakaszt. Itt &tex;\displaystyle P'P''&xet; a &tex;\displaystyle CDP&xet; háromszög &tex;\displaystyle CD&xet;-vel párhuzamos középvonala, így miközben a &tex;\displaystyle Q&xet; pont befutja a &tex;\displaystyle CD&xet; élet, aközben a &tex;\displaystyle PQ&xet; szakasz felezőpontja éppen a &tex;\displaystyle P'P''&xet; szakaszt futja be, amely része az &tex;\displaystyle XYZV&xet; paralelogrammának.

Látjuk tehát, hogy a mértani hely minden pontja az &tex;\displaystyle XYZV&xet; paralelogrammához tartozik. Mivel a paralelogramma minden, az &tex;\displaystyle XV&xet; oldallal párhuzamos metszete megkapható, mint &tex;\displaystyle P'P''&xet; szakasz a &tex;\displaystyle P&xet; pont, vagyis a &tex;\displaystyle 0\le \alpha\le 1&xet; szám megfelelő választása esetén, az is látszik, hogy a paralelogramma minden pontja a mértani helyhez tartozik.


Statistics on problem B. 4318.
74 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Bősze Zsuzsanna, Homonnay Bálint, Kiss 542 Robin, Máthé László, Sieben Bertilla, Simig Dániel, Strenner Péter, Varnyú József, Viharos Andor, Weimann Richárd.
3 points:Bálint Csaba, Beke Lilla, Csörgő András, Czipó Bence, Dinev Georgi, Dolgos Tamás, Győrfi 946 Mónika, Kabos Eszter, Kenéz Balázs, Lenger Dániel, Maga Balázs, Mátrahegyi Roland, Medek Ákos, Nagy 111 Miklós, Ódor Gergely, Tatár Dániel, Tossenberger Tamás, Weisz Gellért, Zilahi Tamás.
2 points:17 students.
1 point:14 students.
0 point:12 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program