KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4318. Let P and Q be arbitrary points on the edges AB and CD of a given tetrahedron ABCD, respectively. Determine the locus of the midpoint of the line segment PQ.

(4 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Az AC,BC,BD,AD élek felezőpontjai legyenek rendre X,Y,Z,V. Ekkor XY és ZV is párhuzamos az AB éllel, és fele olyan hosszú, vagyis az XY és ZV szakaszok egyenlő hosszúak és párhuzamosak egymással. Hasonló állítás érvényes az YZ és VX szakaszokra is, tehát ilyen módon egy XYZV paralelogramma jön létre. állítjuk, hogy ennek a paralolagrammának a pontjai alkotják a keresett mértani helyet.

Legyen P az AB él egy tetszőleges rögzített pontja, és tegyük fel, hogy P az AB szakaszt \alpha:(1-\alpha) arányban osztja. Ekkor a CP szakasz P' felezőpontja is \alpha:(1-\alpha) arányban osztja az XY szakaszt, valamint a DP szakasz P'' felezőpontja is \alpha:(1-\alpha) arányban osztja az VZ szakaszt. Itt P'P'' a CDP háromszög CD-vel párhuzamos középvonala, így miközben a Q pont befutja a CD élet, aközben a PQ szakasz felezőpontja éppen a P'P'' szakaszt futja be, amely része az XYZV paralelogrammának.

Látjuk tehát, hogy a mértani hely minden pontja az XYZV paralelogrammához tartozik. Mivel a paralelogramma minden, az XV oldallal párhuzamos metszete megkapható, mint P'P'' szakasz a P pont, vagyis a 0\le\alpha\le1 szám megfelelő választása esetén, az is látszik, hogy a paralelogramma minden pontja a mértani helyhez tartozik.


Statistics on problem B. 4318.
74 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Bősze Zsuzsanna, Homonnay Bálint, Kiss 542 Robin, Máthé László, Sieben Bertilla, Simig Dániel, Strenner Péter, Varnyú József, Viharos Andor, Weimann Richárd.
3 points:Bálint Csaba, Beke Lilla, Csörgő András, Czipó Bence, Dinev Georgi, Dolgos Tamás, Győrfi 946 Mónika, Kabos Eszter, Kenéz Balázs, Lenger Dániel, Maga Balázs, Mátrahegyi Roland, Medek Ákos, Nagy 111 Miklós, Ódor Gergely, Tatár Dániel, Tossenberger Tamás, Weisz Gellért, Zilahi Tamás.
2 points:17 students.
1 point:14 students.
0 point:12 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program