KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4319. A triangle is drawn on a rectangular sheet of paper. Unfortunately, the vertices are off the sheet, but there is a segment of each side that lies on the sheet. Given that the orthocentre of the triangle is on the sheet, find the orthocentre by doing construction on the sheet.

(4 points)

Deadline expired on 10 January 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A téglalap egy tetszőleges \(\displaystyle P\) belső pontjából kicsinyítsük felére a háromszöget úgy, hogy a látható oldalszakaszokat felére kicsinyítjük, majd az így kapott szakaszokat meghosszabbítjuk. Ha a háromszög még mindig nem fér rá a papírra, akkor ismételjük meg az eljárást még néhányszor egészen addig, amíg az \(\displaystyle 1:2^k\) arányban lekicsinyített háromszög végül teljes egészében rá nem fér a papírlapra. Mivel az eredeti háromszög \(\displaystyle M\) magasságpontja a papíron volt, a kis háromszög \(\displaystyle M'\) magasságpontja is a papírlapon lesz, hiszen a \(\displaystyle PM\) szakasznak arról a pontjáról van szó, amelyre \(\displaystyle PM'=PM/2^k\). Megkülönböztetve a hegyes-, illetve a tompaszögű eseteket, könnyen meggondolható, hogy a kis háromszöget használva az \(\displaystyle M'\) pont megszerkeszthető az ismert eljárással úgy, hogy az egész szerkesztési eljárás a papírlap keretein belül zajlik. Ezután pedig az \(\displaystyle M'\) pontot \(\displaystyle P\)-ből \(\displaystyle 2^k:1\) arányban nagyítva megkapjuk az \(\displaystyle M\) pontot.


Statistics on problem B. 4319.
63 students sent a solution.
4 points:Beke Lilla, Beleznay Soma, Csizmadia Luca, Csuka Róbert, Dankovics Viktor, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Frittmann Júlia, Hartvig 147 Dániel, Herczeg József, Kenéz Balázs, Kiss 542 Robin, Köpenczei Gergő, Kúsz Ágnes, Lajos Mátyás, Lenger Dániel, Lezsák Gábor, Nagy 111 Miklós, Nagy Róbert, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Sieben Bertilla, Solti Bálint, Szabó 928 Attila, Takács 737 Gábor, Varnyú József, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Weisz Gellért, Zelena Réka.
3 points:Ádám Liliána, Árvay Balázs, Barczel Nikolett, Bősze Zsuzsanna, Csörgő András, Énekes Péter, Hajnal Máté, Halmosi Bence, Kecskés Boglárka, Scharle Csilla, Szende Tamás, Szórádi Márk, Tóth Tekla, Trócsányi Péter, Varga 911 Szabolcs.
2 points:7 students.
1 point:4 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley