Problem B. 4320. (December 2010)

B. 4320. Write down the numbers () in a row, and underneath, in a second row list the integers 0<y₁<y₂<... that do not occur among the numbers x_k. Express the difference y_k-x_k as a function of k.

Suggested by L. László, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle b_k=x_k+2k=\big[k\sqrt2+2k\,\big]=\big[(2+\sqrt2)k\,\big]\). Megmutatjuk, hogy minden \(\displaystyle k\) pozitív egészre \(\displaystyle y_k=b_k\), amiből \(\displaystyle y_k-x_k=2k\) következik. Legyen \(\displaystyle n\) tetszőleges pozitív egész szám. Mivel \(\displaystyle \sqrt{2}\) irracionális, az \(\displaystyle x_k\) sorozat \(\displaystyle n\)-nél nem nagyobb, más szóval \(\displaystyle (n+1)\)-nél kisebb elemeinek száma \(\displaystyle \left[ \frac{n+1}{\sqrt{2}} \right]\). Hasonlóképpen, a \(\displaystyle b_k\) sorozat \(\displaystyle n\)-nél nem nagyobb elemeinek száma \(\displaystyle \left[ \frac{n+1}{2+\sqrt{2}} \right]\). Mármost

\(\displaystyle \frac{n+1}{\sqrt{2}}+\frac{n+1}{2+\sqrt{2}}= \frac{(\sqrt{2}+1)(n+1)}{2+\sqrt{2}}+\frac{n+1}{2+\sqrt{2}}=n+1,\)

ahonnan

\(\displaystyle \left[ \frac{n+1}{\sqrt{2}} \right]+ \left[ \frac{n+1}{2+\sqrt{2}} \right]=n\)

adódik.

Minden \(\displaystyle n\)-re teljesül tehát, hogy a két sorozatnak együttesen pontosan \(\displaystyle n\) olyan eleme van, amelyik nem nagyobb \(\displaystyle n\)-nél. Ez azt jelenti, hogy minden pozitív egész szám szerepel valamelyik sorozatban, mégpedig pontosan az egyikben, és pontosan egyszer. A \(\displaystyle b_k\) sorozat elemei tehát éppen az \(\displaystyle y_1,y_2,\ldots\) számok lesznek valamilyen sorrendben. Mivel az \(\displaystyle y_k\) és a \(\displaystyle b_k\) sorozat is monoton növekedő, valóban \(\displaystyle b_k=y_k\), ahogyan azt állítottuk.

Statistics:

19 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Péter, Bogár Blanka, Damásdi Gábor, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Köpenczei Gergő, Lenger Dániel, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Sándor Áron Endre, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Varnyú József, Zsakó András.
4 points:	Tóth Tekla.
3 points:	1 student.
2 points:	2 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2010