KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4323. Solve the following equation: \frac{1+x^4}{{(1+x)}^4} = \frac{3}{4}.

(3 points)

Deadline expired on 10 February 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A bal oldalon álló tört nevezője pontosan akkor 0, ha \(\displaystyle x=-1\). Ennek 4-szeresével való beszorzás és átrendezés után az

\(\displaystyle x^4-12x^3-18x^2-12x+1=0\)

egyenletet kapjuk, mely ekvivalens az eredetivel, hiszen nem gyöke a \(\displaystyle -1\). Az \(\displaystyle y=x+\frac{1}{x}\) helyettesítést alkalmazva az egyenlet \(\displaystyle y^2-12y-20\) alakra hozható, melynek gyökei \(\displaystyle y_{1,2}=6\pm\sqrt{56}\). Mivel \(\displaystyle |6-\sqrt{56}|<2\), \(\displaystyle y=6-\sqrt{56}\) esetén az \(\displaystyle x^2-yx+1=0\) egyenletnek nincs valós megoldása. Ezzel az eredeti egyenletet az

\(\displaystyle x^2-(6+\sqrt{56})x+1=0\)

egyenletre redukáltuk, melynek megoldása

\(\displaystyle x_{1,2}=3+\sqrt{14}\pm \sqrt{22+6\sqrt{14}}.\)


Statistics on problem B. 4323.
166 students sent a solution.
3 points:88 students.
2 points:45 students.
1 point:21 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program  
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley