KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4323. Solve the following equation: \frac{1+x^4}{{(1+x)}^4} = \frac{3}{4}.

(3 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A bal oldalon álló tört nevezője pontosan akkor 0, ha &tex;\displaystyle x=-1&xet;. Ennek 4-szeresével való beszorzás és átrendezés után az

&tex;\displaystyle x^4-12x^3-18x^2-12x+1=0&xet;

egyenletet kapjuk, mely ekvivalens az eredetivel, hiszen nem gyöke a &tex;\displaystyle -1&xet;. Az &tex;\displaystyle y=x+\frac{1}{x}&xet; helyettesítést alkalmazva az egyenlet &tex;\displaystyle y^2-12y-20&xet; alakra hozható, melynek gyökei &tex;\displaystyle y_{1,2}=6\pm\sqrt{56}&xet;. Mivel &tex;\displaystyle |6-\sqrt{56}|<2&xet;, &tex;\displaystyle y=6-\sqrt{56}&xet; esetén az &tex;\displaystyle x^2-yx+1=0&xet; egyenletnek nincs valós megoldása. Ezzel az eredeti egyenletet az

&tex;\displaystyle x^2-(6+\sqrt{56})x+1=0&xet;

egyenletre redukáltuk, melynek megoldása

&tex;\displaystyle x_{1,2}=3+\sqrt{14}\pm \sqrt{22+6\sqrt{14}}.&xet;


Statistics on problem B. 4323.
166 students sent a solution.
3 points:88 students.
2 points:45 students.
1 point:21 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program