Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4323. (January 2011)

B. 4323. Solve the following equation: \frac{1+x^4}{{(1+x)}^4} = \frac{3}{4}.

(3 pont)

Deadline expired on February 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A bal oldalon álló tört nevezője pontosan akkor 0, ha \(\displaystyle x=-1\). Ennek 4-szeresével való beszorzás és átrendezés után az

\(\displaystyle x^4-12x^3-18x^2-12x+1=0\)

egyenletet kapjuk, mely ekvivalens az eredetivel, hiszen nem gyöke a \(\displaystyle -1\). Az \(\displaystyle y=x+\frac{1}{x}\) helyettesítést alkalmazva az egyenlet \(\displaystyle y^2-12y-20\) alakra hozható, melynek gyökei \(\displaystyle y_{1,2}=6\pm\sqrt{56}\). Mivel \(\displaystyle |6-\sqrt{56}|<2\), \(\displaystyle y=6-\sqrt{56}\) esetén az \(\displaystyle x^2-yx+1=0\) egyenletnek nincs valós megoldása. Ezzel az eredeti egyenletet az

\(\displaystyle x^2-(6+\sqrt{56})x+1=0\)

egyenletre redukáltuk, melynek megoldása

\(\displaystyle x_{1,2}=3+\sqrt{14}\pm \sqrt{22+6\sqrt{14}}.\)


Statistics:

166 students sent a solution.
3 points:88 students.
2 points:45 students.
1 point:21 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011