Problem B. 4323.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

B. 4323. Solve the following equation: $\frac{1+x^4}{{(1+x)}^4} = \frac{3}{4}$ .

(3 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

A bal oldalon álló tört nevezője pontosan akkor 0, ha x=-1. Ennek 4-szeresével való beszorzás és átrendezés után az

x⁴-12x³-18x²-12x+1=0

egyenletet kapjuk, mely ekvivalens az eredetivel, hiszen nem gyöke a -1. Az $y=x+\frac{1}{x}$ helyettesítést alkalmazva az egyenlet y²-12y-20 alakra hozható, melynek gyökei $y_{1,2}=6\pm\sqrt{56}$ . Mivel $|6-\sqrt{56}|<2$ , $y=6-\sqrt{56}$ esetén az x²-yx+1=0 egyenletnek nincs valós megoldása. Ezzel az eredeti egyenletet az

$x^2-(6+\sqrt{56})x+1=0$

egyenletre redukáltuk, melynek megoldása

$x_{1,2}=3+\sqrt{14}\pm \sqrt{22+6\sqrt{14}}.$

Statistics on problem B. 4323.

166 students sent a solution.

3 points: 88 students.

2 points: 45 students.

1 point: 21 students.

0 point: 9 students.

Unfair, not evaluated: 3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011

Our web pages are supported by:

ELTE