KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4324. In triangle ABC, the foot of the altitude from vertex A is D, the midpoint of the altitude from vertex B is E, and the midpoint of the altitude from vertex C is F. Show that EDF\sphericalangle =CAB\sphericalangle.

(Suggested by Sz. Miklós, Herceghalom)

(4 points)

Deadline expired on 10 February 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az egyszerűség kedvéért az állítást abban az esetben igazoljuk, amikor az \(\displaystyle ABC\) háromszög hegyesszögű; a bizonyítás a többi esetben is hasonló gondolatokkal elvégezhető. A \(\displaystyle B\)-ből és \(\displaystyle C\)-ből induló magasságvonalak talppontját jelölje \(\displaystyle B'\), illetve \(\displaystyle C'\), a magasságpontot \(\displaystyle M\), a \(\displaystyle CAB\) szöget \(\displaystyle \alpha\). Figyelembe véve, hogy a \(\displaystyle BDMC'\) és \(\displaystyle CDMB'\) négyszögek húrnégyszögek, kapjuk, hogy

\(\displaystyle CC'D\angle=MC'D\angle=MBD\angle=B'BD\angle,\)

és ugyanígy \(\displaystyle C'CD\angle=BB'D\angle\), tehát a \(\displaystyle CC'D\) háromszög hasonló a \(\displaystyle B'BD\) háromszöghöz. Minthogy az \(\displaystyle ACDC'\) négyszög is húrnégyszög, \(\displaystyle BDC'\angle=CAC'\angle=\alpha\), tehát a \(\displaystyle B'BD\) háromszöget \(\displaystyle D\) pont körüli \(\displaystyle \alpha\) szögű forgatva nyújtás viszi a \(\displaystyle CC'D\) háromszögbe. Ez a forgatva nyújtás az első háromszög \(\displaystyle DE\) súlyvonalát a második háromszög \(\displaystyle DF\) súlyvonalába viszi, tehát valóban \(\displaystyle EDF\angle=\alpha\).


Statistics on problem B. 4324.
70 students sent a solution.
4 points:52 students.
3 points:6 students.
1 point:4 students.
0 point:8 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley