Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4324. (January 2011)

B. 4324. In triangle ABC, the foot of the altitude from vertex A is D, the midpoint of the altitude from vertex B is E, and the midpoint of the altitude from vertex C is F. Show that EDF\sphericalangle =CAB\sphericalangle.

(Suggested by Sz. Miklós, Herceghalom)

(4 pont)

Deadline expired on February 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyszerűség kedvéért az állítást abban az esetben igazoljuk, amikor az \(\displaystyle ABC\) háromszög hegyesszögű; a bizonyítás a többi esetben is hasonló gondolatokkal elvégezhető. A \(\displaystyle B\)-ből és \(\displaystyle C\)-ből induló magasságvonalak talppontját jelölje \(\displaystyle B'\), illetve \(\displaystyle C'\), a magasságpontot \(\displaystyle M\), a \(\displaystyle CAB\) szöget \(\displaystyle \alpha\). Figyelembe véve, hogy a \(\displaystyle BDMC'\) és \(\displaystyle CDMB'\) négyszögek húrnégyszögek, kapjuk, hogy

\(\displaystyle CC'D\angle=MC'D\angle=MBD\angle=B'BD\angle,\)

és ugyanígy \(\displaystyle C'CD\angle=BB'D\angle\), tehát a \(\displaystyle CC'D\) háromszög hasonló a \(\displaystyle B'BD\) háromszöghöz. Minthogy az \(\displaystyle ACDC'\) négyszög is húrnégyszög, \(\displaystyle BDC'\angle=CAC'\angle=\alpha\), tehát a \(\displaystyle B'BD\) háromszöget \(\displaystyle D\) pont körüli \(\displaystyle \alpha\) szögű forgatva nyújtás viszi a \(\displaystyle CC'D\) háromszögbe. Ez a forgatva nyújtás az első háromszög \(\displaystyle DE\) súlyvonalát a második háromszög \(\displaystyle DF\) súlyvonalába viszi, tehát valóban \(\displaystyle EDF\angle=\alpha\).


Statistics:

70 students sent a solution.
4 points:52 students.
3 points:6 students.
1 point:4 students.
0 point:8 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011