KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4324. (January 2011)

B. 4324. In triangle ABC, the foot of the altitude from vertex A is D, the midpoint of the altitude from vertex B is E, and the midpoint of the altitude from vertex C is F. Show that EDF\sphericalangle =CAB\sphericalangle.

(Suggested by Sz. Miklós, Herceghalom)

(4 pont)

Deadline expired on February 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyszerűség kedvéért az állítást abban az esetben igazoljuk, amikor az \(\displaystyle ABC\) háromszög hegyesszögű; a bizonyítás a többi esetben is hasonló gondolatokkal elvégezhető. A \(\displaystyle B\)-ből és \(\displaystyle C\)-ből induló magasságvonalak talppontját jelölje \(\displaystyle B'\), illetve \(\displaystyle C'\), a magasságpontot \(\displaystyle M\), a \(\displaystyle CAB\) szöget \(\displaystyle \alpha\). Figyelembe véve, hogy a \(\displaystyle BDMC'\) és \(\displaystyle CDMB'\) négyszögek húrnégyszögek, kapjuk, hogy

\(\displaystyle CC'D\angle=MC'D\angle=MBD\angle=B'BD\angle,\)

és ugyanígy \(\displaystyle C'CD\angle=BB'D\angle\), tehát a \(\displaystyle CC'D\) háromszög hasonló a \(\displaystyle B'BD\) háromszöghöz. Minthogy az \(\displaystyle ACDC'\) négyszög is húrnégyszög, \(\displaystyle BDC'\angle=CAC'\angle=\alpha\), tehát a \(\displaystyle B'BD\) háromszöget \(\displaystyle D\) pont körüli \(\displaystyle \alpha\) szögű forgatva nyújtás viszi a \(\displaystyle CC'D\) háromszögbe. Ez a forgatva nyújtás az első háromszög \(\displaystyle DE\) súlyvonalát a második háromszög \(\displaystyle DF\) súlyvonalába viszi, tehát valóban \(\displaystyle EDF\angle=\alpha\).


Statistics:

70 students sent a solution.
4 points:52 students.
3 points:6 students.
1 point:4 students.
0 point:8 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley