A B. 4324. feladat (2011. január)

B. 4324. Az ABC háromszögben az A-ból induló magasságvonal talppontja D, a B-ből induló magasságvonal felezőpontja E, továbbá a C-ből induló magasságvonal felezőpontja F. Mutassuk meg, hogy .

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyszerűség kedvéért az állítást abban az esetben igazoljuk, amikor az \(\displaystyle ABC\) háromszög hegyesszögű; a bizonyítás a többi esetben is hasonló gondolatokkal elvégezhető. A \(\displaystyle B\)-ből és \(\displaystyle C\)-ből induló magasságvonalak talppontját jelölje \(\displaystyle B'\), illetve \(\displaystyle C'\), a magasságpontot \(\displaystyle M\), a \(\displaystyle CAB\) szöget \(\displaystyle \alpha\). Figyelembe véve, hogy a \(\displaystyle BDMC'\) és \(\displaystyle CDMB'\) négyszögek húrnégyszögek, kapjuk, hogy

\(\displaystyle CC'D\angle=MC'D\angle=MBD\angle=B'BD\angle,\)

és ugyanígy \(\displaystyle C'CD\angle=BB'D\angle\), tehát a \(\displaystyle CC'D\) háromszög hasonló a \(\displaystyle B'BD\) háromszöghöz. Minthogy az \(\displaystyle ACDC'\) négyszög is húrnégyszög, \(\displaystyle BDC'\angle=CAC'\angle=\alpha\), tehát a \(\displaystyle B'BD\) háromszöget \(\displaystyle D\) pont körüli \(\displaystyle \alpha\) szögű forgatva nyújtás viszi a \(\displaystyle CC'D\) háromszögbe. Ez a forgatva nyújtás az első háromszög \(\displaystyle DE\) súlyvonalát a második háromszög \(\displaystyle DF\) súlyvonalába viszi, tehát valóban \(\displaystyle EDF\angle=\alpha\).

Statisztika:

70 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	52 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.

A KöMaL 2011. januári matematika feladatai