Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4328. (January 2011)

B. 4328. A regular pentagon of side a is rotated about a side. The volume of the resulting solid of revolution equals that of the solid obtained by rotating a regular pentagon of side b about a diagonal. Determine the ratio a:b.

(3 pont)

Deadline expired on February 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Forgassuk először a \(\displaystyle b\) oldalú \(\displaystyle ABCDE\) ötszöget az \(\displaystyle AD\) átlója körül; szimmetria okok miatt nyilván mindegy, melyik átlója körül forgatjuk. Mivel az \(\displaystyle ABCD\) szimmetrikus trapéznak a forgástengelyre vett tükörképe tartalmazza az \(\displaystyle ADE\) háromszöget, elegendő a trapézt forgatni. A \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontok vetülete az \(\displaystyle AD\) szakaszra legyen \(\displaystyle B'\), illetve \(\displaystyle C'\). A keletkezett forgástest felbontható egy \(\displaystyle BB'=b\sin72^\circ\) sugarú, \(\displaystyle b\) magasságú henger és két darab, egyenként \(\displaystyle BB'\) sugarú, \(\displaystyle AB'=b\cos72^\circ\) magasságú egyenes kúp egymásba nem nyúló egyesítésére. Ezért a forgástest térfogata

\(\displaystyle V_b=b^3\pi\left(\sin^2 72^\circ+\frac{2}{3}\sin^2 72^\circ\cos72^\circ\right)=\frac{b^3\pi}{3}\sin 72^\circ(3\sin72^\circ+\sin36^\circ).\)

Forgassuk most az \(\displaystyle a\) oldalú \(\displaystyle XYZUV\) ötszöget az \(\displaystyle XV\) oldala körül. A \(\displaystyle ZY\) és \(\displaystyle ZU\) egyeneseknek a forgástengellyel alkotott metszéspontját jelölje \(\displaystyle S\), illetve \(\displaystyle T\), az \(\displaystyle Y,Z,U\) pontoknak a forgástengelyre eső vetületét pedig rendre \(\displaystyle Y',Z',U'\). A keletkezett forgástestet megkaphatjuk úgy, hogy két \(\displaystyle ZZ'\) sugarú, \(\displaystyle Z'S\) magasságú forgáskúp egyesítéséből eltávolítunk két \(\displaystyle YY'\) sugarú, \(\displaystyle Y'S\) magasságú és két \(\displaystyle YY'\) sugarú, \(\displaystyle Y'X\) magasságú kúpot. Mivel

\(\displaystyle ZZ'=a(\sin72^\circ+\sin36^\circ),\quad YY'=a\sin72^\circ,\quad Y'X=a\cos72^\circ,\)

\(\displaystyle Z'S=ZZ'\cdot \frac{\cos36^\circ}{\sin36^\circ},\quad Y'S=YY'\cdot \frac{\cos36^\circ}{\sin36^\circ},\)

a forgástest térfogata

\(\displaystyle V_a=\frac{2a^3\pi}{3} \left( (\sin72^\circ+\sin36^\circ)^3\frac{\cos36^\circ}{\sin36^\circ}- \sin^3 72^\circ \frac{\cos36^\circ}{\sin36^\circ}- \sin^2 72^\circ\cos 72^\circ \right)\)

\(\displaystyle =a^3\pi\sin^2 72^\circ(2\cos36^\circ+1).\)

A \(\displaystyle V_a=V_b\) feltétel alapján tehát

\(\displaystyle \frac{a}{b}=\root{3}\of{\frac{3\sin72^\circ+\sin36^\circ} {3\sin72^\circ(2\cos36^\circ+1)}} =\root{3}\of{\frac{6\cos36^\circ+1}{6\cos36^\circ(2\cos36^\circ+1)}}.\)

Minthogy \(\displaystyle 2\cos36^\circ\) megegyezik a szabályos ötszög átlójának és oldalának arányával, ami az aranymetszés alapján \(\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}\), a köbgyök alatt álló érték

\(\displaystyle \frac{3\frac{\sqrt{5}+1}{2}+1}{3\frac{\sqrt{5}+1}{2}\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2}+1\right)}= \frac{2(3\sqrt{5}+5)}{3(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+3)}= \frac{2\sqrt{5}}{3(\sqrt{5}+1)}=\frac{5-\sqrt{5}}{6}.\)

Ezért a keresett \(\displaystyle a:b\) arány

\(\displaystyle \frac{a}{b}=\root{3}\of{\frac{5-\sqrt{5}}{6}}\approx 0,7723.\)


Statistics:

46 students sent a solution.
3 points:Bodai Kristóf, Schwarcz Gergő.
2 points:Balázs Bálint, Boér Lehel, Böszörményi Borbála, Csörgő András, Czipó Bence, Gudenus Balázs, Hegedűs Csaba, Nagy Dániel Bálint, Solti Bálint, Szabó 911 Bálint Solt, Tekeli Tamás, Varjú János, Weisz Ambrus.
1 point:5 students.
0 point:25 students.
Unfair, not evaluated:1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011