KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4328. A regular pentagon of side a is rotated about a side. The volume of the resulting solid of revolution equals that of the solid obtained by rotating a regular pentagon of side b about a diagonal. Determine the ratio a:b.

(3 points)

Deadline expired on 10 February 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Forgassuk először a \(\displaystyle b\) oldalú \(\displaystyle ABCDE\) ötszöget az \(\displaystyle AD\) átlója körül; szimmetria okok miatt nyilván mindegy, melyik átlója körül forgatjuk. Mivel az \(\displaystyle ABCD\) szimmetrikus trapéznak a forgástengelyre vett tükörképe tartalmazza az \(\displaystyle ADE\) háromszöget, elegendő a trapézt forgatni. A \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontok vetülete az \(\displaystyle AD\) szakaszra legyen \(\displaystyle B'\), illetve \(\displaystyle C'\). A keletkezett forgástest felbontható egy \(\displaystyle BB'=b\sin72^\circ\) sugarú, \(\displaystyle b\) magasságú henger és két darab, egyenként \(\displaystyle BB'\) sugarú, \(\displaystyle AB'=b\cos72^\circ\) magasságú egyenes kúp egymásba nem nyúló egyesítésére. Ezért a forgástest térfogata

\(\displaystyle V_b=b^3\pi\left(\sin^2 72^\circ+\frac{2}{3}\sin^2 72^\circ\cos72^\circ\right)=\frac{b^3\pi}{3}\sin 72^\circ(3\sin72^\circ+\sin36^\circ).\)

Forgassuk most az \(\displaystyle a\) oldalú \(\displaystyle XYZUV\) ötszöget az \(\displaystyle XV\) oldala körül. A \(\displaystyle ZY\) és \(\displaystyle ZU\) egyeneseknek a forgástengellyel alkotott metszéspontját jelölje \(\displaystyle S\), illetve \(\displaystyle T\), az \(\displaystyle Y,Z,U\) pontoknak a forgástengelyre eső vetületét pedig rendre \(\displaystyle Y',Z',U'\). A keletkezett forgástestet megkaphatjuk úgy, hogy két \(\displaystyle ZZ'\) sugarú, \(\displaystyle Z'S\) magasságú forgáskúp egyesítéséből eltávolítunk két \(\displaystyle YY'\) sugarú, \(\displaystyle Y'S\) magasságú és két \(\displaystyle YY'\) sugarú, \(\displaystyle Y'X\) magasságú kúpot. Mivel

\(\displaystyle ZZ'=a(\sin72^\circ+\sin36^\circ),\quad YY'=a\sin72^\circ,\quad Y'X=a\cos72^\circ,\)

\(\displaystyle Z'S=ZZ'\cdot \frac{\cos36^\circ}{\sin36^\circ},\quad Y'S=YY'\cdot \frac{\cos36^\circ}{\sin36^\circ},\)

a forgástest térfogata

\(\displaystyle V_a=\frac{2a^3\pi}{3} \left( (\sin72^\circ+\sin36^\circ)^3\frac{\cos36^\circ}{\sin36^\circ}- \sin^3 72^\circ \frac{\cos36^\circ}{\sin36^\circ}- \sin^2 72^\circ\cos 72^\circ \right)\)

\(\displaystyle =a^3\pi\sin^2 72^\circ(2\cos36^\circ+1).\)

A \(\displaystyle V_a=V_b\) feltétel alapján tehát

\(\displaystyle \frac{a}{b}=\root{3}\of{\frac{3\sin72^\circ+\sin36^\circ} {3\sin72^\circ(2\cos36^\circ+1)}} =\root{3}\of{\frac{6\cos36^\circ+1}{6\cos36^\circ(2\cos36^\circ+1)}}.\)

Minthogy \(\displaystyle 2\cos36^\circ\) megegyezik a szabályos ötszög átlójának és oldalának arányával, ami az aranymetszés alapján \(\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}\), a köbgyök alatt álló érték

\(\displaystyle \frac{3\frac{\sqrt{5}+1}{2}+1}{3\frac{\sqrt{5}+1}{2}\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2}+1\right)}= \frac{2(3\sqrt{5}+5)}{3(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+3)}= \frac{2\sqrt{5}}{3(\sqrt{5}+1)}=\frac{5-\sqrt{5}}{6}.\)

Ezért a keresett \(\displaystyle a:b\) arány

\(\displaystyle \frac{a}{b}=\root{3}\of{\frac{5-\sqrt{5}}{6}}\approx 0,7723.\)


Statistics on problem B. 4328.
46 students sent a solution.
3 points:Bodai Kristóf, Schwarcz Gergő.
2 points:Balázs Bálint, Boér Lehel, Böszörményi Borbála, Csörgő András, Czipó Bence, Gudenus Balázs, Hegedűs Csaba, Nagy Dániel Bálint, Solti Bálint, Szabó 911 Bálint Solt, Tekeli Tamás, Varjú János, Weisz Ambrus.
1 point:5 students.
0 point:25 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley