Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4330. (January 2011)

B. 4330. Find the polynomial p of two variables, such that

p(x+y,xy) = \textstyle\sum_{k=0}^{20}x^{20-k}y^{k}?

(Suggested by A. Hraskó, Budapest)

(4 pont)

Deadline expired on February 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tetszőleges \(\displaystyle n\) természetes számra legyen \(\displaystyle p_n=p_n(u,v)\) az a kétváltozós polinom, amelyre

\(\displaystyle p_n(x+y,xy)=\sum_{k=0}^nx^{n-k}y^k.\)

Ekkor \(\displaystyle p_0(u,v)=1\), \(\displaystyle p_1(u,v)=u\), \(\displaystyle p_2(u,v)=u^2-v\), és minden \(\displaystyle n\) pozitív egészre fennáll az

\(\displaystyle (x+y)p_n(x+y, xy)=p_{n+1}(x+y,xy)+xyp_{n-1}(x+y,xy)\)

összefüggés, ami azt jelenti, hogy

\(\displaystyle p_{n+1}(u,v)=up_n(u,v)-vp_{n-1}(u,v)\)

teljesül minden \(\displaystyle (u,v)\) párra, ahol \(\displaystyle u^2\ge 4v\). Mivel ez az összefüggés bármely rögzített \(\displaystyle v\) érték mellett végtelen sok \(\displaystyle u\) esetén fennáll, minden \(\displaystyle u\)-ra fenn kell állnia, hiszen ha \(\displaystyle v\) értéke rögzített, akkor már csak egyváltozós polinomról van szó. A \(\displaystyle p_n\) polinomsorozatot tehát a fenti rekurzió egyértelműen meghatározza.

Azt állítjuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle n\) természetes számra

\(\displaystyle p_n(u,v)=\sum_{i=0}^{[n/2]}(-1)^i {n-i\choose i}u^{n-2i}v^i.\)

Ez \(\displaystyle n=0\) és \(\displaystyle n=1\) esetén nyilván igaz. Ha pedig \(\displaystyle n\)-ig bezárólag már igazoltuk ezt az összefüggést, akkor a rekurzió alapján

\(\displaystyle p_{n+1}(u,v)=u\left\{ \sum_{i=0}^{[n/2]}(-1)^i {n-i\choose i}u^{n-2i}v^i \right\}-v\left\{ \sum_{j=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^j {n-1-j\choose j}u^{n-1-2j}v^j \right\}\)

\(\displaystyle =\left\{ \sum_{i=0}^{[n/2]}(-1)^i {n-i\choose i}u^{n+1-2i}v^i \right\} +\left\{ \sum_{i=1}^{[(n+1)/2]}(-1)^i {n-i\choose i-1}u^{n+1-2i}v^i \right\}\)

\(\displaystyle =\sum_{i=0}^{[(n+1)/2]}(-1)^i {n+1-i\choose i}u^{n+1-2i}v^i,\)

hiszen \(\displaystyle u^{n+1-2i}v^i\) együtthatója \(\displaystyle i=0\) esetén mind a két kifejezésben 1, \(\displaystyle 1\le i\le [n/2]\) esetén

\(\displaystyle (-1)^i {n-i\choose i}+(-1)^i {n-i\choose i-1}=(-1)^i {n+1-i\choose i},\)

ha pedig \(\displaystyle n+1\) páros, akkor \(\displaystyle i=(n+1)/2\) esetén \(\displaystyle (-1)^{(n+1)/2}\).

Ezen összefüggés alapján a keresett polinom

\(\displaystyle p(u,v)=p_{20}(u,v)=\sum_{i=0}^{10}(-1)^i{20-i\choose i}u^{20-2i}v^i =u^{20}-19u^{18}v+153u^{16}v^2-680u^{14}v^3+\)

\(\displaystyle +1820u^{12}v^4-3003u^{10}v^5+3003u^8v^6-1716u^6v^7+495u^4v^8-55u^2v^9+ v^{10}.\)


Statistics:

38 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Baráti László, Beleznay Soma, Bősze Zsuzsanna, Bunth Gergely, Czipó Bence, Énekes Péter, Halász Dániel, Homonnay Bálint, Kabos Eszter, Kiss 542 Robin, Kúsz Ágnes, Lenger Dániel, Ódor Gergely, Sándor Áron Endre, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tekeli Tamás, Tran Trong Hoang Tuan, Vajk Dóra, Viharos Andor, Vuchetich Bálint, Weisz Gellért, Zelena Réka.
3 points:Barczel Nikolett, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Zsakó András.
2 points:4 students.
1 point:4 students.
0 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011