KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
A verseny állása
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4331. Mutassuk meg, hogy ha a \mathcal{K} konvex sokszögnek P belső pontja, akkor megadható a síkon négy egyenes úgy, hogy \mathcal{K} bármely oldalszakaszához van az adott egyenesek közt olyan, amely által meghatározott két nyílt félsík egyike P-t, másika pedig az oldalszakaszt tartalmazza. Igaz-e az állítás, ha csak három egyenest adhatunk meg?

Javasolta: Vígh Viktor (Calgary)

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. február 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Tekintsük a sokszög egy tetszőleges &tex;\displaystyle s&xet; oldalszakaszát. Ha az &tex;\displaystyle s&xet; szakaszt &tex;\displaystyle P&xet;-ből tetszőleges &tex;\displaystyle 0<\lambda<1&xet; arányban lekicsinyítjük, az így kapott szakasz meghosszabbításával nyert egyenes elválasztja &tex;\displaystyle P&xet;-t az &tex;\displaystyle s&xet; szakasztól a feladat szövegében megfogalmazott módon. Más szóval, &tex;\displaystyle \mathcal K&xet; bármely oldalszakasza elválasztható &tex;\displaystyle P&xet;-től egy alkalmas egyenes segítségével.

Válasszunk ki most egy olyan &tex;\displaystyle e&xet; egyenest, amely illeszkedik &tex;\displaystyle P&xet;-re, de nem halad át a &tex;\displaystyle \mathcal K&xet; sokszög egyetlen csúcsán sem. Ilyen egyenes létezik, hiszen a végtelen sok &tex;\displaystyle P&xet;-n áthaladó egyenes közül csak véges sokat zártunk ki. Jelölje &tex;\displaystyle d>0&xet; a sokszög csúcsainak &tex;\displaystyle e&xet;-től vett minimális távolságát. Az &tex;\displaystyle e&xet; egyenes &tex;\displaystyle \mathcal K&xet;-nak pontosan két oldalszakaszát metszi. Ezeket egy-egy alkalmas egyenes segítségével elválaszthatjuk &tex;\displaystyle P&xet;-től. Az összes további oldalszakaszra igaz, hogy bármelyikük teljes egészében &tex;\displaystyle e&xet; valamelyik oldalára esik, ezek elválasztásához pedig elegendő két további egyenes. Vegyünk fel ugyanis &tex;\displaystyle e&xet; mindkét oldalán egy-egy olyan &tex;\displaystyle e&xet;-vel párhuzamos egyenest, amelynek távolsága &tex;\displaystyle e&xet;-től kisebb, mint &tex;\displaystyle d&xet;. A két egyenes által határolt zárt sáv tehát nem tartalmazza &tex;\displaystyle \mathcal K&xet; egyetlen csúcsát sem. Ez pedig azt jelenti, hogy ha a sokszög valamely &tex;\displaystyle s&xet; oldalszakasza teljes egészében &tex;\displaystyle e&xet;-nek valamelyik oldalára esett, akkor a két új egyenesnek is teljes egészében ugyanarra az oldalára fog esni. A két új egyenes közül az egyik tehát elválasztja az &tex;\displaystyle s&xet; szakaszt &tex;\displaystyle P&xet;-től.

Három egyenes viszont nem mindig adható meg a kívánt módon. Legyen például &tex;\displaystyle \mathcal K&xet; egy négyzet, melynek &tex;\displaystyle P&xet; a középpontja. Ha egy nyílt félsík a négyzetnek két oldalszakaszát is tartalmazza, akkor két szemközti csúccsal együtt tartalmaznia kell az általuk meghatározott átlót, és ezzel együtt a &tex;\displaystyle P&xet; pontot is. Ez éppen azt jelenti, hogy bármely egyenes &tex;\displaystyle \mathcal K&xet;-nak legfeljebb egy oldalszakaszát választhatja el &tex;\displaystyle P&xet;-től, vagyis legalább négy egyenesre van szükség.


A B. 4331. feladat statisztikája
38 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Ágoston Péter, Beke Lilla, Damásdi Gábor, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Hajnal Máté, Herczeg József, Homonnay Bálint, Kabos Eszter, Lenger Dániel, Maga Balázs, Nagy Bence Kristóf, Nagy Róbert, Perjési Gábor, Rábai Domonkos, Simig Dániel, Szende Tamás, Tatár Dániel, Vajda Balázs, Viharos Andor, Weisz Gellért.
4 pontot kapott:Bogár Blanka, Czipó Bence, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Gyarmati Máté, Kiss 666 Péter, Neukirchner Elisabeth, Sándor Áron Endre, Sieben Bertilla, Strenner Péter, Zilahi Tamás.
3 pontot kapott:4 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.


  • A KöMaL 2011. januári matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap