Problem B. 4332. (February 2011)

B. 4332. If the numbering of the faces of an (ordinary cubical) die is correct, the sums of the numbers on the faces adjacent to any chosen face are equal. Is it possible to number the faces of a dodecahedral die 1 to 12 in the same way?

(3 pont)

Deadline expired on March 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy létezik megfelelő számozás, melyre bármely lap szomszédaira írt számok összege \(\displaystyle S\)-sel egyenlő. Mivel minden lapnak pontosan 5 szomszédja van, minden egyes szám a 12 szóban forgó összeg közül pontosan 5-ben szerepel összeadandóként. A dobódodekaéder lapjaira írt számok összege \(\displaystyle 1+2+\ldots+12=78\). Ezek alapján \(\displaystyle 12\cdot S=5\cdot 78\), vagyis \(\displaystyle S=65/2\), ami nem egész szám, tehát nem lehet 5 darab egész szám összege. Ez azt jelenti, hogy nem létezhet megfelelő számozás.

Statistics:

128 students sent a solution.
3 points:	122 students.
2 points:	4 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011