Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4335. (February 2011)

B. 4335. Two circles intersect at points B and C. A line touches each of them, the points of tangency are A1 and A2. Prove that \frac{A_1B}{A_1C} = \frac{A_2B}{A_2C}.

(Suggested by M. Mester, Szeged)

(4 pont)

Deadline expired on March 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A \(\displaystyle BC\) egyenesnek az \(\displaystyle A_1A_2\) szakasszal vett metszéspontját jelölje \(\displaystyle X\). A kerületi szögek tétele szerint a \(\displaystyle BCA_i\) szög egyenlő a \(\displaystyle BA_iX\) szöggel, ezért az \(\displaystyle XCA_i\) háromszög hasonló az \(\displaystyle XA_iB\) háromszöghöz, tehát \(\displaystyle XC:A_iX=A_iX:XB\). A szinusz-tételt felhasználva kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{A_iB}{A_iC} = \frac{\sin BCA_i\sphericalangle}{\sin CBA_i\sphericalangle}=\frac{\sin BA_iX\sphericalangle}{\sin XBA_i\sphericalangle}=\frac{XB}{A_iX}.\)

Elegendő tehát azt igazolni, hogy \(\displaystyle A_1X=A_2X\), ami viszont azonnal leolvasható az \(\displaystyle A_iX^2=XB\cdot XC\) összefüggésből.


Statistics:

46 students sent a solution.
4 points:Baráti László, Barczel Nikolett, Beke Lilla, Boér Lehel, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Damásdi Gábor, Dobos Nóra, Dobosy Kristóf, Dolgos Tamás, Emri Tamás, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Frank Evelyn, Frittmann Júlia, Győrfi 946 Mónika, Hajnal Máté, Halász Dániel, Hopp Norbert, Kovács Márton, Máthé László, Medek Ákos, Müller Dóra Tímea, Nagy Zsanett, Rábai Domonkos, Sagmeister Ádám, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tekeli Tamás, Tossenberger Tamás, Tulassay Zsolt, Varga 515 Balázs, Varga 911 Szabolcs, Weimann Richárd, Weisz Gellért, Wiandt Zsófia, Zilahi Tamás, Zsakó András.
3 points:Dunay Luca, Lajos Mátyás, Magyari Ábel, Nagy Balázs, Temesvári Eszter, Tran Trong Hoang Tuan.
0 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011