KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4336. Regular triangles are drawn over the sides AB and BC of a parallelogram ABCD on the outside. Their third vertices are E and F, respectively. Show that the sum of the angles CED and AFD is 60o.

(Suggested by Sz. Miklós, Herceghalom)

(4 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Mivel &tex;\displaystyle AD=CF&xet;, &tex;\displaystyle AE=CD&xet;, valamint az &tex;\displaystyle DAE&xet; és &tex;\displaystyle FCD&xet; szögek is egyenlők, látható, hogy a &tex;\displaystyle DAE&xet; és &tex;\displaystyle FCD&xet; háromszögek egybevágók, tehát &tex;\displaystyle DE=DF&xet;.

A &tex;\displaystyle CBE&xet; háromszöget &tex;\displaystyle B&xet; körül (óramutató járásával megegyező irányban) &tex;\displaystyle 60^\circ&xet;-os szöggel elforgatva kapjuk az &tex;\displaystyle FBA&xet; háromszöget. Ha ezt a háromszöget &tex;\displaystyle F&xet; körül forgatjuk el &tex;\displaystyle 60^\circ&xet;-os szöggel, az &tex;\displaystyle FCG&xet; háromszöghöz jutunk. Az így nyert &tex;\displaystyle G&xet; pontra teljesül tehát, hogy &tex;\displaystyle CE=FA=FG&xet;, továbbá hogy mind az &tex;\displaystyle AFG&xet;, mind a &tex;\displaystyle DCG&xet; háromszög is szabályos, vagyis &tex;\displaystyle DC=DG&xet; is teljesül.

Mindezeket egybevetve kapjuk, hogy a &tex;\displaystyle DEC&xet; és &tex;\displaystyle DFG&xet; háromszögek egybevágók, következésképpen

&tex;\displaystyle AFD\sphericalangle+CED\sphericalangle=AFD\sphericalangle+DFG\sphericalangle=AFG\sphericalangle=60^\circ.&xet;


Statistics on problem B. 4336.
102 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Baráti László, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Dolgos Tamás, Fonyó Viktória, Herczeg József, Homonnay Bálint, Kenéz Balázs, Klincsik Gergely, Lenger Dániel, Mihálykó András, Molnár Ákos, Sagmeister Ádám, Scharle Csilla, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Gergő, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Varjú János, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Weisz Gellért.
3 points:63 students.
2 points:11 students.
1 point:2 students.
0 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program