KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4337. (February 2011)

B. 4337. Find all real numbers p such that the equation x3-7x+p=0 has two real roots whose difference is 1.

(4 pont)

Deadline expired on 10 March 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b=a+1\) valós számok gyökei az egyenletnek. Ekkor az \(\displaystyle x^3-7x+p\) polinomból az \(\displaystyle x-a\) és \(\displaystyle x-b\) gyöktényező is kiemelhető, vagyis

\(\displaystyle x^3-7x+p=(x-a)(x-b)(x-c)\)

teljesül alkalmas \(\displaystyle c\) valós számmal. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések értelmében

\(\displaystyle a+b+c=0,\ ab+ac+bc=-7,\ abc=-p.\)

Az első összefüggés alapján \(\displaystyle c=-(a+b)=-(2a+1)\). Ezt a második összefüggésbe behelyettesítve

\(\displaystyle ab+(a+b)c=a(a+1)-(2a+1)^2=-7.\)

Az így kapott \(\displaystyle a^2+a-2=0\) másodfokú egyenlet két megoldása \(\displaystyle a_1=1\) és \(\displaystyle a_2=-2\). Az ezekhez tartozó \(\displaystyle b,c\) értékek \(\displaystyle b_1=2\), \(\displaystyle c_1=-3\), illetve \(\displaystyle b_2=-1\), \(\displaystyle c_2=3\). Mivel az első két összefüggés mindkét esetben teljesül, a harmadik összefüggés alapján a megfelelő \(\displaystyle p\) értékekre \(\displaystyle p_1=6\), illetve \(\displaystyle p_2=-6\) adódik.


Statistics:

>
129 students sent a solution.
4 points:110 students.
3 points:8 students.
2 points:4 students.
1 point:2 students.
0 point:5 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley