B. 4337. Find all real numbers p such that the equation x³-7x+p=0 has two real roots whose difference is 1.

(4 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Tegyük fel, hogy az a és b=a+1 valós számok gyökei az egyenletnek. Ekkor az x³-7x+p polinomból az x-a és x-b gyöktényező is kiemelhető, vagyis

x³-7x+p=(x-a)(x-b)(x-c)

teljesül alkalmas c valós számmal. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések értelmében

Az első összefüggés alapján c=-(a+b)=-(2a+1). Ezt a második összefüggésbe behelyettesítve

ab+(a+b)c=a(a+1)-(2a+1)²=-7.

Az így kapott a²+a-2=0 másodfokú egyenlet két megoldása a₁=1 és a₂=-2. Az ezekhez tartozó b,c értékek b₁=2, c₁=-3, illetve b₂=-1, c₂=3. Mivel az első két összefüggés mindkét esetben teljesül, a harmadik összefüggés alapján a megfelelő p értékekre p₁=6, illetve p₂=-6 adódik.

Statistics on problem B. 4337. 129 students sent a solution. 4 points: 110 students. 3 points: 8 students. 2 points: 4 students. 1 point: 2 students. 0 point: 5 students.