KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4337. Find all real numbers p such that the equation x3-7x+p=0 has two real roots whose difference is 1.

(4 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Tegyük fel, hogy az a és b=a+1 valós számok gyökei az egyenletnek. Ekkor az x3-7x+p polinomból az x-a és x-b gyöktényező is kiemelhető, vagyis

x3-7x+p=(x-a)(x-b)(x-c)

teljesül alkalmas c valós számmal. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések értelmében

a+b+c=0,\  ab+ac+bc=-7,\ abc=-p.

Az első összefüggés alapján c=-(a+b)=-(2a+1). Ezt a második összefüggésbe behelyettesítve

ab+(a+b)c=a(a+1)-(2a+1)2=-7.

Az így kapott a2+a-2=0 másodfokú egyenlet két megoldása a1=1 és a2=-2. Az ezekhez tartozó b,c értékek b1=2, c1=-3, illetve b2=-1, c2=3. Mivel az első két összefüggés mindkét esetben teljesül, a harmadik összefüggés alapján a megfelelő p értékekre p1=6, illetve p2=-6 adódik.


Statistics on problem B. 4337.
129 students sent a solution.
4 points:110 students.
3 points:8 students.
2 points:4 students.
1 point:2 students.
0 point:5 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program