KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Competitions Portal

B. 4337. Find all real numbers p such that the equation x3-7x+p=0 has two real roots whose difference is 1.

(4 points)

Deadline expired on 10 March 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Tegyük fel, hogy az &tex;\displaystyle a&xet; és &tex;\displaystyle b=a+1&xet; valós számok gyökei az egyenletnek. Ekkor az &tex;\displaystyle x^3-7x+p&xet; polinomból az &tex;\displaystyle x-a&xet; és &tex;\displaystyle x-b&xet; gyöktényező is kiemelhető, vagyis

&tex;\displaystyle x^3-7x+p=(x-a)(x-b)(x-c)&xet;

teljesül alkalmas &tex;\displaystyle c&xet; valós számmal. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések értelmében

&tex;\displaystyle a+b+c=0,\ ab+ac+bc=-7,\ abc=-p.&xet;

Az első összefüggés alapján &tex;\displaystyle c=-(a+b)=-(2a+1)&xet;. Ezt a második összefüggésbe behelyettesítve

&tex;\displaystyle ab+(a+b)c=a(a+1)-(2a+1)^2=-7.&xet;

Az így kapott &tex;\displaystyle a^2+a-2=0&xet; másodfokú egyenlet két megoldása &tex;\displaystyle a_1=1&xet; és &tex;\displaystyle a_2=-2&xet;. Az ezekhez tartozó &tex;\displaystyle b,c&xet; értékek &tex;\displaystyle b_1=2&xet;, &tex;\displaystyle c_1=-3&xet;, illetve &tex;\displaystyle b_2=-1&xet;, &tex;\displaystyle c_2=3&xet;. Mivel az első két összefüggés mindkét esetben teljesül, a harmadik összefüggés alapján a megfelelő &tex;\displaystyle p&xet; értékekre &tex;\displaystyle p_1=6&xet;, illetve &tex;\displaystyle p_2=-6&xet; adódik.


Statistics on problem B. 4337.
129 students sent a solution.
4 points:110 students.
3 points:8 students.
2 points:4 students.
1 point:2 students.
0 point:5 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   Nemzeti TehetsĂ©g Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE