KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A B. 4337. feladat (2011. február)

B. 4337. Határozzuk meg azokat a p valós számokat, amelyekre az

x3-7x+p=0

egyenletnek van két olyan valós gyöke, amelyek különbsége 1.

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b=a+1\) valós számok gyökei az egyenletnek. Ekkor az \(\displaystyle x^3-7x+p\) polinomból az \(\displaystyle x-a\) és \(\displaystyle x-b\) gyöktényező is kiemelhető, vagyis

\(\displaystyle x^3-7x+p=(x-a)(x-b)(x-c)\)

teljesül alkalmas \(\displaystyle c\) valós számmal. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések értelmében

\(\displaystyle a+b+c=0,\ ab+ac+bc=-7,\ abc=-p.\)

Az első összefüggés alapján \(\displaystyle c=-(a+b)=-(2a+1)\). Ezt a második összefüggésbe behelyettesítve

\(\displaystyle ab+(a+b)c=a(a+1)-(2a+1)^2=-7.\)

Az így kapott \(\displaystyle a^2+a-2=0\) másodfokú egyenlet két megoldása \(\displaystyle a_1=1\) és \(\displaystyle a_2=-2\). Az ezekhez tartozó \(\displaystyle b,c\) értékek \(\displaystyle b_1=2\), \(\displaystyle c_1=-3\), illetve \(\displaystyle b_2=-1\), \(\displaystyle c_2=3\). Mivel az első két összefüggés mindkét esetben teljesül, a harmadik összefüggés alapján a megfelelő \(\displaystyle p\) értékekre \(\displaystyle p_1=6\), illetve \(\displaystyle p_2=-6\) adódik.


Statisztika:

129 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:110 versenyző.
3 pontot kapott:8 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley