KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4338. Four points A, B, C and D on a circle are selected at random, independently of each other. What is the probability that the chords AB and CD intersect?

(4 points)

Deadline expired on 10 March 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Rögzítsük le a kör kerületén az \(\displaystyle A\) pontot és számítsuk ki annak \(\displaystyle p_A\) valószínűségét, hogy a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokat a kör kerületén egymástól függetlenül, véletlenszerűen felvéve, az \(\displaystyle AB\) és a \(\displaystyle CD\) húrok metszik egymást. Szimmetria okok miatt ez a \(\displaystyle p_A\) valószínűség az \(\displaystyle A\) pont minden egyes helyzete esetén ugyanakkora, tehát megegyezik a feladatban keresett \(\displaystyle p\) valószínűséggel.

Mivel nulla annak a valószínűsége, hogy a négy pont közül valamely kettő egybeesik, elegendő csak azokkal az esetekkel foglalkozni, amikor mind a négy pont különböző. Vágjuk fel a körvonalat az \(\displaystyle A\) pontnál és egyenesítsük ki. A feladatot ekkor így fogalmazhatjuk át: mi annak a \(\displaystyle p\) valószínűsége, hogy a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokat egy nyílt szakaszon egymástól függetlenül, véletlenszerűen felvéve úgy, hogy semelyik kettő nem esik egybe, éppen a \(\displaystyle B\) pont lesz középen, vagyis a három pont közül éppen \(\displaystyle B\) választja el egymástól a másik kettőt? Szimmetria okok miatt ennek a valószínűsége nyilván 1/3.


Statistics on problem B. 4338.
87 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Bakó Aletta, Beleznay Soma, Czipó Bence, Damásdi Gábor, Dankovics Viktor, Dudás 002 Zsolt, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Kordás Péter, Kristóf Kitti, Maga Balázs, Medek Ákos, Mihálykó András, Nagy 111 Miklós, Perjési Gábor, Sándor Áron Endre, Sieben Bertilla, Simig Dániel, Strenner Péter, Szilágyi Gergely Bence, Tossenberger Tamás, Tóth Balázs, Zelena Réka, Zsakó András.
3 points:33 students.
2 points:13 students.
1 point:12 students.
0 point:4 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley