Problem B. 4338. (February 2011)

B. 4338. Four points A, B, C and D on a circle are selected at random, independently of each other. What is the probability that the chords AB and CD intersect?

(4 pont)

Deadline expired on March 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Rögzítsük le a kör kerületén az \(\displaystyle A\) pontot és számítsuk ki annak \(\displaystyle p_A\) valószínűségét, hogy a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokat a kör kerületén egymástól függetlenül, véletlenszerűen felvéve, az \(\displaystyle AB\) és a \(\displaystyle CD\) húrok metszik egymást. Szimmetria okok miatt ez a \(\displaystyle p_A\) valószínűség az \(\displaystyle A\) pont minden egyes helyzete esetén ugyanakkora, tehát megegyezik a feladatban keresett \(\displaystyle p\) valószínűséggel.

Mivel nulla annak a valószínűsége, hogy a négy pont közül valamely kettő egybeesik, elegendő csak azokkal az esetekkel foglalkozni, amikor mind a négy pont különböző. Vágjuk fel a körvonalat az \(\displaystyle A\) pontnál és egyenesítsük ki. A feladatot ekkor így fogalmazhatjuk át: mi annak a \(\displaystyle p\) valószínűsége, hogy a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokat egy nyílt szakaszon egymástól függetlenül, véletlenszerűen felvéve úgy, hogy semelyik kettő nem esik egybe, éppen a \(\displaystyle B\) pont lesz középen, vagyis a három pont közül éppen \(\displaystyle B\) választja el egymástól a másik kettőt? Szimmetria okok miatt ennek a valószínűsége nyilván 1/3.

Statistics:

87 students sent a solution.
4 points:	Ágoston Péter, Bakó Aletta, Beleznay Soma, Czipó Bence, Damásdi Gábor, Dankovics Viktor, Dudás 002 Zsolt, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Kordás Péter, Kristóf Kitti, Maga Balázs, Medek Ákos, Mihálykó András, Nagy 111 Miklós, Perjési Gábor, Sándor Áron Endre, Sieben Bertilla, Simig Dániel, Strenner Péter, Szilágyi Gergely Bence, Tossenberger Tamás, Tóth Balázs, Zelena Réka, Zsakó András.
3 points:	33 students.
2 points:	13 students.
1 point:	12 students.
0 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011