A B. 4338. feladat (2011. február)

B. 4338. Egy kör kerületén egymástól függetlenül, véletlenszerűen felvesszük az A, B, C és D pontokat. Mi annak a valószínűsége, hogy az AB és a CD húrok metszik egymást?

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Rögzítsük le a kör kerületén az \(\displaystyle A\) pontot és számítsuk ki annak \(\displaystyle p_A\) valószínűségét, hogy a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokat a kör kerületén egymástól függetlenül, véletlenszerűen felvéve, az \(\displaystyle AB\) és a \(\displaystyle CD\) húrok metszik egymást. Szimmetria okok miatt ez a \(\displaystyle p_A\) valószínűség az \(\displaystyle A\) pont minden egyes helyzete esetén ugyanakkora, tehát megegyezik a feladatban keresett \(\displaystyle p\) valószínűséggel.

Mivel nulla annak a valószínűsége, hogy a négy pont közül valamely kettő egybeesik, elegendő csak azokkal az esetekkel foglalkozni, amikor mind a négy pont különböző. Vágjuk fel a körvonalat az \(\displaystyle A\) pontnál és egyenesítsük ki. A feladatot ekkor így fogalmazhatjuk át: mi annak a \(\displaystyle p\) valószínűsége, hogy a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokat egy nyílt szakaszon egymástól függetlenül, véletlenszerűen felvéve úgy, hogy semelyik kettő nem esik egybe, éppen a \(\displaystyle B\) pont lesz középen, vagyis a három pont közül éppen \(\displaystyle B\) választja el egymástól a másik kettőt? Szimmetria okok miatt ennek a valószínűsége nyilván 1/3.

Statisztika:

87 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Péter, Bakó Aletta, Beleznay Soma, Czipó Bence, Damásdi Gábor, Dankovics Viktor, Dudás 002 Zsolt, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Kordás Péter, Kristóf Kitti, Maga Balázs, Medek Ákos, Mihálykó András, Nagy 111 Miklós, Perjési Gábor, Sándor Áron Endre, Sieben Bertilla, Simig Dániel, Strenner Péter, Szilágyi Gergely Bence, Tossenberger Tamás, Tóth Balázs, Zelena Réka, Zsakó András.
3 pontot kapott:	33 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2011. februári matematika feladatai