KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4340. Prove that the following inequality is true for all positive numbers a1,a2,...,an.


\left(\frac{a_1}{a_2+\dots+a_n}\right)^2+\left(\frac{a_2}{a_3+\dots+a_1}\right)^2+\ldots
+ \left(\frac{a_n}{a_1+\dots+a_{n-1}}\right)^2\ge \frac{n}{{(n-1)}^2}.

(5 points)

Deadline expired on 10 March 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen &tex;\displaystyle x_i=\frac{a_i}{a_1+a_2+\ldots+a_n}&xet;, &tex;\displaystyle y_i=1-x_i&xet;; ekkor minden &tex;\displaystyle i&xet;-re &tex;\displaystyle 0<x_i<1&xet;, és így &tex;\displaystyle 0<y_i<1&xet; is teljesül, továbbá &tex;\displaystyle x_1+x_2+\ldots+x_n=1&xet; miatt &tex;\displaystyle y_1+y_2+\ldots+y_n=n-1&xet;. A bizonyítandó

&tex;\displaystyle \sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i}{y_i}\right)^2\ge \frac{n}{{(n-1)}^2}&xet;

egyenlőtlenséget írjuk át

&tex;\displaystyle \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i}{y_i}\right)^2}{n}}\ge \frac{1}{{n-1}}&xet;

alakra. A bal oldalon a pozitív &tex;\displaystyle x_i/y_i&xet; számok négyzetes közepe áll, ami legalább akkora, mint ugyanezen számok számtani közepe. Elegendő tehát a

&tex;\displaystyle {{\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{y_i}}} \ge \frac{n}{{n-1}}&xet;

egyenlőtlenséget igazolni. Mivel &tex;\displaystyle \frac{x_i}{y_i}=\frac{1-y_i}{y_i}= \frac{1}{y_i}-1&xet;, ez ekvivalens a

&tex;\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{y_i}\ge \frac{n}{{n-1}}+n=\frac{n^2}{n-1}&xet;

egyenlőtlenséggel. A számtani és harmonikus közepekre vonatkozó egyenlőtlenség szerint azonban

&tex;\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^n \frac{1}{y_i}}{n}\ge \frac{n}{\sum_{i=1}^n y_i} =\frac{n}{n-1},&xet;

ahonnan a fenti egyenlőtlenség már közvetlenül leolvasható. A bizonyításból az is látszik, hogy egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha &tex;\displaystyle y_1=y_2=\ldots=y_n&xet;, vagyis pontosan az &tex;\displaystyle a_1=a_2=\ldots=a_n&xet; esetben.


Statistics on problem B. 4340.
36 students sent a solution.
5 points:Bauer Barbara, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Damásdi Gábor, Dinev Georgi, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Freud Edvin, Frittmann Júlia, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Halász Dániel, Kabos Eszter, Kapronczay Mór, Köpenczei Gergő, Magyari Ábel, Máthé László, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Simig Dániel, Szabó 928 Attila, Szilágyi Gergely Bence, Tekeli Tamás, Tossenberger Tamás, Tran Trong Hoang Tuan, Varjú János, Veres Andrea, Viharos Andor, Weisz Gellért, Zilahi Tamás.
4 points:Varga Zoltán Attila.
3 points:2 students.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program