Problem B. 4340.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

B. 4340. Prove that the following inequality is true for all positive numbers a₁,a₂,...,a_n.

$\left(\frac{a_1}{a_2+\dots+a_n}\right)^2+\left(\frac{a_2}{a_3+\dots+a_1}\right)^2+\ldots + \left(\frac{a_n}{a_1+\dots+a_{n-1}}\right)^2\ge \frac{n}{{(n-1)}^2}.$

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Legyen $x_i=\frac{a_i}{a_1+a_2+\ldots+a_n}$ , y_i=1-x_i; ekkor minden i-re 0<x_i<1, és így 0<y_i<1 is teljesül, továbbá $x_1+x_2+\ldots+x_n=1$ miatt $y_1+y_2+\ldots+y_n=n-1$ . A bizonyítandó

$\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i}{y_i}\right)^2\ge \frac{n}{{(n-1)}^2}$

egyenlőtlenséget írjuk át

$\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i}{y_i}\right)^2}{n}}\ge \frac{1}{{n-1}}$

alakra. A bal oldalon a pozitív x_i/y_i számok négyzetes közepe áll, ami legalább akkora, mint ugyanezen számok számtani közepe. Elegendő tehát a

${{\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{y_i}}} \ge \frac{n}{{n-1}}$

egyenlőtlenséget igazolni. Mivel $\frac{x_i}{y_i}=\frac{1-y_i}{y_i}= \frac{1}{y_i}-1$ , ez ekvivalens a

$\sum_{i=1}^n \frac{1}{y_i}\ge \frac{n}{{n-1}}+n=\frac{n^2}{n-1}$

egyenlőtlenséggel. A számtani és harmonikus közepekre vonatkozó egyenlőtlenség szerint azonban

$\frac{\sum_{i=1}^n \frac{1}{y_i}}{n}\ge \frac{n}{\sum_{i=1}^n y_i} =\frac{n}{n-1},$

ahonnan a fenti egyenlőtlenség már közvetlenül leolvasható. A bizonyításból az is látszik, hogy egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha $y_1=y_2=\ldots=y_n$ , vagyis pontosan az $a_1=a_2=\ldots=a_n$ esetben.

Statistics on problem B. 4340.

36 students sent a solution.

5 points: Bauer Barbara, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Damásdi Gábor, Dinev Georgi, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Freud Edvin, Frittmann Júlia, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Halász Dániel, Kabos Eszter, Kapronczay Mór, Köpenczei Gergő, Magyari Ábel, Máthé László, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Simig Dániel, Szabó 928 Attila, Szilágyi Gergely Bence, Tekeli Tamás, Tossenberger Tamás, Tran Trong Hoang Tuan, Varjú János, Veres Andrea, Viharos Andor, Weisz Gellért, Zilahi Tamás.

4 points: Varga Zoltán Attila.

3 points: 2 students.

0 point: 1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011

Our web pages are supported by:

ELTE