KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4341. (February 2011)

B. 4341. Find all pairs f(x), g(x) of polynomials of real coefficients such that f(x+1)g(x-1)-g(x+1)f(x-1)=1.

(Suggested by P. Kutas, Budapest)

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle f(x)g(x-2)-g(x)f(x-2)=1\) egyenlőségből az \(\displaystyle f(x+2)g(x)-g(x+2)f(x)=1\) egyenlőséget kivonva kapjuk, hogy

\(\displaystyle f(x)(g(x-2)+g(x+2))=g(x)(f(x-2)+f(x+2)).\)

A legelső összefüggés szerint az \(\displaystyle f(x)\) és \(\displaystyle g(x)\) polinomoknak nem lehet első- vagy magasabbfokú közös osztója; speciálisan pedig egyik sem lehet a 0 polinom. Az \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) polinomok tehát egymáshoz relatív prímek, ezért az \(\displaystyle f(x)\) polinom csak úgy lehet osztója a \(\displaystyle g(x)(f(x-2)+f(x+2))\) polinomnak, ha osztja az \(\displaystyle f(x-2)+f(x+2)\) polinomot. Ez utóbbi polinom fokszáma megegyezik az \(\displaystyle f\) polinom fokszámával, főegyütthatója pedig kétszer akkora, mint az \(\displaystyle f\) polinomé. Ezért a két polinom hányadosa 2, vagyis

\(\displaystyle f(x-2)+f(x+2)=2f(x), \quad f(x+2)-f(x)=f(x)-f(x-2).\)

Ez utóbbi összefüggés persze teljesül ha az \(\displaystyle f(x)\) polinom konstans, ha pedig \(\displaystyle f\) foka legalább 1, akkor a \(\displaystyle h(x)=f(x)-f(x-2)\) előírással definiált \(\displaystyle h\) polinomra, amely \(\displaystyle f\)-nél eggyel kisebb fokú, \(\displaystyle h(x+2)=h(x)\) teljesül. Mivel a \(\displaystyle h\) polinom végtelen sok helyen ugyanazt az értéket veszi fel, csakis konstans polinom lehet. Azt kaptuk tehát, hogy a nemnulla \(\displaystyle f\) polinom legfeljebb elsőfokú; az \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) polinomok szerepét felcserélve pedig ugyanez derül ki a \(\displaystyle g\) polinomról is.

Ezek után már nem nehéz meghatározni az összes megfelelő polinompárt. Az \(\displaystyle f(x)=ax+b\) és a \(\displaystyle g(x)=cx+d\) polinomokból álló pár (ahol \(\displaystyle a\) vagy \(\displaystyle c\) értéke akár nulla is lehet) pontosan akkor lesz megoldás, ha (mint polinomok)

\(\displaystyle (ax+a+b)(cx-c+d)-(cx+c+d)(ax-a+b)=1.\)

Rövid számolás mutatja, hogy a bal oldalon álló polinom igazából a konstans \(\displaystyle 2ad-2bc\) polinom. A szükséges és elégséges feltétel tehát \(\displaystyle ad-bc=-1/2\); ilyen polinompár persze végtelen sok van.


Statistics:

7 students sent a solution.
5 points:Dudás 002 Zsolt, Lenger Dániel, Nagy Róbert, Perjési Gábor.
1 point:1 student.
0 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley